Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24722 / 40304
↖ ↑ ↗
← S 38.203655°
W 44.197998°		 ← 480.02 m → S 38.203655°
W 44.192505°		 →
↑
479.99 m
↓
↑
479.99 m
↓
S 38.207972°
W 44.197998°		 ← 479.99 m →
230 397 m²		 S 38.207972°
W 44.192505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377235412597656 y=0.614997863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377235412597656 × 216)
    floor (0.377235412597656 × 65536)
    floor (24722.5)     		tx = 24722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614997863769531 × 216)
    floor (0.614997863769531 × 65536)
    floor (40304.5)     		ty = 40304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24722 / 40304 ti = "16/24722/40304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24722/40304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24722 ÷ 216
    24722 ÷ 65536     		x = 0.377227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40304 ÷ 216
    40304 ÷ 65536     		y = 0.614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.24554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77140059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.22998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.722504951073486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77140059} λ = -0.77140059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722504951073486))-π/2
    2×atan(0.485534491231182)-π/2
    2×0.452008377606868-π/2
    0.904016755213735-1.57079632675     		φ = -0.66677957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77140059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66677957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.203655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24722 KachelY 40304 -0.77140059 -0.66677957 -44.197998 -38.203655
    Oben rechts KachelX + 1 24723 KachelY 40304 -0.77130471 -0.66677957 -44.192505 -38.203655
    Unten links KachelX 24722 KachelY + 1 40305 -0.77140059 -0.66685491 -44.197998 -38.207972
    Unten rechts KachelX + 1 24723 KachelY + 1 40305 -0.77130471 -0.66685491 -44.192505 -38.207972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66677957--0.66685491) × R
    7.53399999999793e-05 × 6371000     		dl = 479.991139999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66677957--0.66685491) × R
    7.53399999999793e-05 × 6371000     		dr = 479.991139999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77140059--0.77130471) × cos(-0.66677957) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785817439756181 × 6371000     		do = 480.017746085115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77140059--0.77130471) × cos(-0.66685491) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785770842860498 × 6371000     		du = 479.989282302424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66677957)-sin(-0.66685491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785817439756181-0.785770842860498)×R²
    abs(-0.77130471--0.77140059)×4.6596895682316e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6596895682316e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6596895682316e-05×40589641000000     		ar = 230397.434090637m²