Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2472 / 2598
↖ ↑ ↗
← S 43.452919°
E 37.265625°		 ← 7 094.60 m → S 43.452919°
E 37.353515°		 →
↑
7 090.86 m
↓
↑
7 090.86 m
↓
S 43.516688°
E 37.265625°		 ← 7 087.11 m →
50 280 274 m²		 S 43.516688°
E 37.353515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6036376953125 y=0.6343994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6036376953125 × 212)
    floor (0.6036376953125 × 4096)
    floor (2472.5)     		tx = 2472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6343994140625 × 212)
    floor (0.6343994140625 × 4096)
    floor (2598.5)     		ty = 2598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2472 / 2598 ti = "12/2472/2598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2472/2598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2472 ÷ 212
    2472 ÷ 4096     		x = 0.603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2598 ÷ 212
    2598 ÷ 4096     		y = 0.63427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603515625 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65040785} λ = 0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843689433312988))-π/2
    2×atan(0.430120690836426)-π/2
    2×0.406199911258911-π/2
    0.812399822517822-1.57079632675     		φ = -0.75839650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75839650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.452919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2472 KachelY 2598 0.65040785 -0.75839650 37.265625 -43.452919
    Oben rechts KachelX + 1 2473 KachelY 2598 0.65194183 -0.75839650 37.353515 -43.452919
    Unten links KachelX 2472 KachelY + 1 2599 0.65040785 -0.75950949 37.265625 -43.516688
    Unten rechts KachelX + 1 2473 KachelY + 1 2599 0.65194183 -0.75950949 37.353515 -43.516688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75839650--0.75950949) × R
    0.00111298999999998 × 6371000     		dl = 7090.85928999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75839650--0.75950949) × R
    0.00111298999999998 × 6371000     		dr = 7090.85928999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65040785-0.65194183) × cos(-0.75839650) × R
    0.00153398000000005 × 0.725939763951328 × 6371000     		do = 7094.59957098491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65040785-0.65194183) × cos(-0.75950949) × R
    0.00153398000000005 × 0.725173846387604 × 6371000     		du = 7087.11426891324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75839650)-sin(-0.75950949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725939763951328-0.725173846387604)×R²
    abs(0.65194183-0.65040785)×0.000765917563724239×R²
    0.00153398000000005×0.000765917563724239×6371000²
    0.00153398000000005×0.000765917563724239×40589641000000     		ar = 50280273.8552565m²