Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24719 / 40200
↖ ↑ ↗
← S 37.753344°
W 44.214478°		 ← 482.92 m → S 37.753344°
W 44.208985°		 →
↑
482.92 m
↓
↑
482.92 m
↓
S 37.757687°
W 44.214478°		 ← 482.89 m →
233 207 m²		 S 37.757687°
W 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377189636230469 y=0.613410949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377189636230469 × 216)
    floor (0.377189636230469 × 65536)
    floor (24719.5)     		tx = 24719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613410949707031 × 216)
    floor (0.613410949707031 × 65536)
    floor (40200.5)     		ty = 40200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24719 / 40200 ti = "16/24719/40200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24719/40200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24719 ÷ 216
    24719 ÷ 65536     		x = 0.377182006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40200 ÷ 216
    40200 ÷ 65536     		y = 0.6134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377182006835938 × 2 - 1) × π
    -0.245635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77168821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.712534075952515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77168821} λ = -0.77168821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.712534075952515))-π/2
    2×atan(0.490399910947105)-π/2
    2×0.4559380850721-π/2
    0.9118761701442-1.57079632675     		φ = -0.65892016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77168821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.214478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65892016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.753344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24719 KachelY 40200 -0.77168821 -0.65892016 -44.214478 -37.753344
    Oben rechts KachelX + 1 24720 KachelY 40200 -0.77159234 -0.65892016 -44.208985 -37.753344
    Unten links KachelX 24719 KachelY + 1 40201 -0.77168821 -0.65899596 -44.214478 -37.757687
    Unten rechts KachelX + 1 24720 KachelY + 1 40201 -0.77159234 -0.65899596 -44.208985 -37.757687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65892016--0.65899596) × R
    7.58000000000703e-05 × 6371000     		dl = 482.921800000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65892016--0.65899596) × R
    7.58000000000703e-05 × 6371000     		dr = 482.921800000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77168821--0.77159234) × cos(-0.65892016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.790653838883208 × 6371000     		do = 482.921695093403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77168821--0.77159234) × cos(-0.65899596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.790607427043893 × 6371000     		du = 482.893347309567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65892016)-sin(-0.65899596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790653838883208-0.790607427043893)×R²
    abs(-0.77159234--0.77168821)×4.64118393150859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64118393150859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64118393150859e-05×40589641000000     		ar = 233206.569484159m²