Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24718 / 40201
↖ ↑ ↗
← S 37.757687°
W 44.219970°		 ← 482.89 m → S 37.757687°
W 44.214478°		 →
↑
482.86 m
↓
↑
482.86 m
↓
S 37.762030°
W 44.219970°		 ← 482.87 m →
233 162 m²		 S 37.762030°
W 44.214478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377174377441406 y=0.613426208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377174377441406 × 216)
    floor (0.377174377441406 × 65536)
    floor (24718.5)     		tx = 24718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613426208496094 × 216)
    floor (0.613426208496094 × 65536)
    floor (40201.5)     		ty = 40201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24718 / 40201 ti = "16/24718/40201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24718/40201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24718 ÷ 216
    24718 ÷ 65536     		x = 0.377166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40201 ÷ 216
    40201 ÷ 65536     		y = 0.613418579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.24566650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77178408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613418579101562 × 2 - 1) × π
    -0.226837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.712629949751755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77178408} λ = -0.77178408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.712629949751755))-π/2
    2×atan(0.490352896698249)-π/2
    2×0.455900184690717-π/2
    0.911800369381433-1.57079632675     		φ = -0.65899596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77178408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.219970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65899596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.757687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24718 KachelY 40201 -0.77178408 -0.65899596 -44.219970 -37.757687
    Oben rechts KachelX + 1 24719 KachelY 40201 -0.77168821 -0.65899596 -44.214478 -37.757687
    Unten links KachelX 24718 KachelY + 1 40202 -0.77178408 -0.65907175 -44.219970 -37.762030
    Unten rechts KachelX + 1 24719 KachelY + 1 40202 -0.77168821 -0.65907175 -44.214478 -37.762030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65899596--0.65907175) × R
    7.5789999999909e-05 × 6371000     		dl = 482.85808999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65899596--0.65907175) × R
    7.5789999999909e-05 × 6371000     		dr = 482.85808999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77178408--0.77168821) × cos(-0.65899596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.790607427043893 × 6371000     		do = 482.893347309567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77178408--0.77168821) × cos(-0.65907175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.790561016785865 × 6371000     		du = 482.865000491561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65899596)-sin(-0.65907175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790607427043893-0.790561016785865)×R²
    abs(-0.77168821--0.77178408)×4.64102580278736e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64102580278736e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64102580278736e-05×40589641000000     		ar = 233162.115721635m²