Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24715 / 29057
↖ ↑ ↗
← N 19.968186°
W 44.236450°		 ← 574.13 m → N 19.968186°
W 44.230957°		 →
↑
574.09 m
↓
↑
574.09 m
↓
N 19.963023°
W 44.236450°		 ← 574.15 m →
329 607 m²		 N 19.963023°
W 44.230957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377128601074219 y=0.443382263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377128601074219 × 216)
    floor (0.377128601074219 × 65536)
    floor (24715.5)     		tx = 24715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443382263183594 × 216)
    floor (0.443382263183594 × 65536)
    floor (29057.5)     		ty = 29057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24715 / 29057 ti = "16/24715/29057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24715/29057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24715 ÷ 216
    24715 ÷ 65536     		x = 0.377120971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29057 ÷ 216
    29057 ÷ 65536     		y = 0.443374633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377120971679688 × 2 - 1) × π
    -0.245758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77207171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    0.113250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.355787668980057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77207171} λ = -0.77207171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355787668980057))-π/2
    2×atan(1.42730445507623)-π/2
    2×0.959653458566116-π/2
    1.91930691713223-1.57079632675     		φ = 0.34851059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77207171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.236450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34851059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.968186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24715 KachelY 29057 -0.77207171 0.34851059 -44.236450 19.968186
    Oben rechts KachelX + 1 24716 KachelY 29057 -0.77197583 0.34851059 -44.230957 19.968186
    Unten links KachelX 24715 KachelY + 1 29058 -0.77207171 0.34842048 -44.236450 19.963023
    Unten rechts KachelX + 1 24716 KachelY + 1 29058 -0.77197583 0.34842048 -44.230957 19.963023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34851059-0.34842048) × R
    9.01100000000321e-05 × 6371000     		dl = 574.090810000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34851059-0.34842048) × R
    9.01100000000321e-05 × 6371000     		dr = 574.090810000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77207171--0.77197583) × cos(0.34851059) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.939882386157109 × 6371000     		do = 574.128546609625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77207171--0.77197583) × cos(0.34842048) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.939913154754536 × 6371000     		du = 574.147341652901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34851059)-sin(0.34842048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939882386157109-0.939913154754536)×R²
    abs(-0.77197583--0.77207171)×3.0768597426456e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0768597426456e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0768597426456e-05×40589641000000     		ar = 329607.317621366m²