Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24712 / 29480
↖ ↑ ↗
← N 17.769612°
W 44.252930°		 ← 581.71 m → N 17.769612°
W 44.247436°		 →
↑
581.67 m
↓
↑
581.67 m
↓
N 17.764381°
W 44.252930°		 ← 581.73 m →
338 369 m²		 N 17.764381°
W 44.247436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377082824707031 y=0.449836730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377082824707031 × 216)
    floor (0.377082824707031 × 65536)
    floor (24712.5)     		tx = 24712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449836730957031 × 216)
    floor (0.449836730957031 × 65536)
    floor (29480.5)     		ty = 29480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24712 / 29480 ti = "16/24712/29480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24712/29480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24712 ÷ 216
    24712 ÷ 65536     		x = 0.3770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29480 ÷ 216
    29480 ÷ 65536     		y = 0.4498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    0.100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.315233051901489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77235933} λ = -0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315233051901489))-π/2
    2×atan(1.37057868970942)-π/2
    2×0.940467283650832-π/2
    1.88093456730166-1.57079632675     		φ = 0.31013824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31013824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.769612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24712 KachelY 29480 -0.77235933 0.31013824 -44.252930 17.769612
    Oben rechts KachelX + 1 24713 KachelY 29480 -0.77226345 0.31013824 -44.247436 17.769612
    Unten links KachelX 24712 KachelY + 1 29481 -0.77235933 0.31004694 -44.252930 17.764381
    Unten rechts KachelX + 1 24713 KachelY + 1 29481 -0.77226345 0.31004694 -44.247436 17.764381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31013824-0.31004694) × R
    9.13000000000164e-05 × 6371000     		dl = 581.672300000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31013824-0.31004694) × R
    9.13000000000164e-05 × 6371000     		dr = 581.672300000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77235933--0.77226345) × cos(0.31013824) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952291389480257 × 6371000     		do = 581.708604655563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77235933--0.77226345) × cos(0.31004694) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952319249384155 × 6371000     		du = 581.725622919093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31013824)-sin(0.31004694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952291389480257-0.952319249384155)×R²
    abs(-0.77226345--0.77235933)×2.78599038986416e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.78599038986416e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.78599038986416e-05×40589641000000     		ar = 338368.731761157m²