Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24708 / 25988
↖ ↑ ↗
← S 71.978988°
E 91.450195°		 ← 377.93 m → S 71.978988°
E 91.461182°		 →
↑
377.86 m
↓
↑
377.86 m
↓
S 71.982386°
E 91.450195°		 ← 377.86 m →
142 794 m²		 S 71.982386°
E 91.461182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754043579101562 y=0.793106079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754043579101562 × 215)
    floor (0.754043579101562 × 32768)
    floor (24708.5)     		tx = 24708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793106079101562 × 215)
    floor (0.793106079101562 × 32768)
    floor (25988.5)     		ty = 25988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24708 / 25988 ti = "15/24708/25988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24708/25988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24708 ÷ 215
    24708 ÷ 32768     		x = 0.7540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25988 ÷ 215
    25988 ÷ 32768     		y = 0.7930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7540283203125 × 2 - 1) × π
    0.508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.59610701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.84154393580408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59610701} λ = 1.59610701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84154393580408))-π/2
    2×atan(0.158572411388612)-π/2
    2×0.157262998436639-π/2
    0.314525996873279-1.57079632675     		φ = -1.25627033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59610701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25627033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.978988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24708 KachelY 25988 1.59610701 -1.25627033 91.450195 -71.978988
    Oben rechts KachelX + 1 24709 KachelY 25988 1.59629876 -1.25627033 91.461182 -71.978988
    Unten links KachelX 24708 KachelY + 1 25989 1.59610701 -1.25632964 91.450195 -71.982386
    Unten rechts KachelX + 1 24709 KachelY + 1 25989 1.59629876 -1.25632964 91.461182 -71.982386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25627033--1.25632964) × R
    5.93099999999236e-05 × 6371000     		dl = 377.864009999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25627033--1.25632964) × R
    5.93099999999236e-05 × 6371000     		dr = 377.864009999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59610701-1.59629876) × cos(-1.25627033) × R
    0.000191749999999935 × 0.309365755908841 × 6371000     		do = 377.933350024031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59610701-1.59629876) × cos(-1.25632964) × R
    0.000191749999999935 × 0.309309354927941 × 6371000     		du = 377.864448372025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25627033)-sin(-1.25632964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309365755908841-0.309309354927941)×R²
    abs(1.59629876-1.59610701)×5.64009808999288e-05×R²
    0.000191749999999935×5.64009808999288e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.64009808999288e-05×40589641000000     		ar = 142794.393467355m²