Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24705 / 25984
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 91.417237°		 ← 378.19 m → S 71.965388°
E 91.428222°		 →
↑
378.18 m
↓
↑
378.18 m
↓
S 71.968789°
E 91.417237°		 ← 378.12 m →
143 012 m²		 S 71.968789°
E 91.428222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753952026367188 y=0.792984008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753952026367188 × 215)
    floor (0.753952026367188 × 32768)
    floor (24705.5)     		tx = 24705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792984008789062 × 215)
    floor (0.792984008789062 × 32768)
    floor (25984.5)     		ty = 25984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24705 / 25984 ti = "15/24705/25984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24705/25984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24705 ÷ 215
    24705 ÷ 32768     		x = 0.753936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25984 ÷ 215
    25984 ÷ 32768     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753936767578125 × 2 - 1) × π
    0.50787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.59553177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59553177} λ = 1.59553177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59553177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.417237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24705 KachelY 25984 1.59553177 -1.25603296 91.417237 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 24706 KachelY 25984 1.59572351 -1.25603296 91.428222 -71.965388
    Unten links KachelX 24705 KachelY + 1 25985 1.59553177 -1.25609232 91.417237 -71.968789
    Unten rechts KachelX + 1 24706 KachelY + 1 25985 1.59572351 -1.25609232 91.428222 -71.968789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.25609232) × R
    5.93600000000638e-05 × 6371000     		dl = 378.182560000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.25609232) × R
    5.93600000000638e-05 × 6371000     		dr = 378.182560000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59553177-1.59572351) × cos(-1.25603296) × R
    0.000191739999999996 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 378.189370273128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59553177-1.59572351) × cos(-1.25609232) × R
    0.000191739999999996 × 0.3095350283923 × 6371000     		du = 378.120419457231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.25609232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.3095350283923)×R²
    abs(1.59572351-1.59553177)×5.64441687304629e-05×R²
    0.000191739999999996×5.64441687304629e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.64441687304629e-05×40589641000000     		ar = 143011.586258322m²