Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24703 / 25983
↖ ↑ ↗
← S 71.961986°
E 91.395264°		 ← 378.28 m → S 71.961986°
E 91.406250°		 →
↑
378.25 m
↓
↑
378.25 m
↓
S 71.965388°
E 91.395264°		 ← 378.21 m →
143 069 m²		 S 71.965388°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753890991210938 y=0.792953491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753890991210938 × 215)
    floor (0.753890991210938 × 32768)
    floor (24703.5)     		tx = 24703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792953491210938 × 215)
    floor (0.792953491210938 × 32768)
    floor (25983.5)     		ty = 25983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24703 / 25983 ti = "15/24703/25983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24703/25983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24703 ÷ 215
    24703 ÷ 32768     		x = 0.753875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25983 ÷ 215
    25983 ÷ 32768     		y = 0.792938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753875732421875 × 2 - 1) × π
    0.50775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.59514827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.792938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.58587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84058519781168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59514827} λ = 1.59514827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84058519781168))-π/2
    2×atan(0.158724513685431)-π/2
    2×0.157411366410025-π/2
    0.31482273282005-1.57079632675     		φ = -1.25597359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59514827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25597359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.961986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24703 KachelY 25983 1.59514827 -1.25597359 91.395264 -71.961986
    Oben rechts KachelX + 1 24704 KachelY 25983 1.59534002 -1.25597359 91.406250 -71.961986
    Unten links KachelX 24703 KachelY + 1 25984 1.59514827 -1.25603296 91.395264 -71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 24704 KachelY + 1 25984 1.59534002 -1.25603296 91.406250 -71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25597359--1.25603296) × R
    5.9370000000003e-05 × 6371000     		dl = 378.246270000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25597359--1.25603296) × R
    5.9370000000003e-05 × 6371000     		dr = 378.246270000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59514827-1.59534002) × cos(-1.25597359) × R
    0.000191750000000157 × 0.309647925147394 × 6371000     		do = 378.278059041429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59514827-1.59534002) × cos(-1.25603296) × R
    0.000191750000000157 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 378.209094346163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25597359)-sin(-1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309647925147394-0.30959147256103)×R²
    abs(1.59534002-1.59514827)×5.645258636372e-05×R²
    0.000191750000000157×5.645258636372e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.645258636372e-05×40589641000000     		ar = 143069.222077985m²