Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2470 / 1890
↖ ↑ ↗
← N 13.752725°
E 37.089844°		 ← 9 492.80 m → N 13.752725°
E 37.177734°		 →
↑
9 494.57 m
↓
↑
9 494.57 m
↓
N 13.667338°
E 37.089844°		 ← 9 496.25 m →
90 146 519 m²		 N 13.667338°
E 37.177734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6031494140625 y=0.4615478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6031494140625 × 212)
    floor (0.6031494140625 × 4096)
    floor (2470.5)     		tx = 2470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4615478515625 × 212)
    floor (0.4615478515625 × 4096)
    floor (1890.5)     		ty = 1890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2470 / 1890 ti = "12/2470/1890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2470/1890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2470 ÷ 212
    2470 ÷ 4096     		x = 0.60302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1890 ÷ 212
    1890 ÷ 4096     		y = 0.46142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60302734375 × 2 - 1) × π
    0.2060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64733989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    0.0771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.242368964479004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64733989} λ = 0.64733989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242368964479004))-π/2
    2×atan(1.27426426434142)-π/2
    2×0.905413326651064-π/2
    1.81082665330213-1.57079632675     		φ = 0.24003033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64733989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24003033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.752725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2470 KachelY 1890 0.64733989 0.24003033 37.089844 13.752725
    Oben rechts KachelX + 1 2471 KachelY 1890 0.64887387 0.24003033 37.177734 13.752725
    Unten links KachelX 2470 KachelY + 1 1891 0.64733989 0.23854005 37.089844 13.667338
    Unten rechts KachelX + 1 2471 KachelY + 1 1891 0.64887387 0.23854005 37.177734 13.667338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24003033-0.23854005) × R
    0.00149027999999998 × 6371000     		dl = 9494.57387999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24003033-0.23854005) × R
    0.00149027999999998 × 6371000     		dr = 9494.57387999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64733989-0.64887387) × cos(0.24003033) × R
    0.00153397999999993 × 0.9713307648846 × 6371000     		do = 9492.80252995793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64733989-0.64887387) × cos(0.23854005) × R
    0.00153397999999993 × 0.971683973497278 × 6371000     		du = 9496.25443298956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24003033)-sin(0.23854005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9713307648846-0.971683973497278)×R²
    abs(0.64887387-0.64733989)×0.000353208612677625×R²
    0.00153397999999993×0.000353208612677625×6371000²
    0.00153397999999993×0.000353208612677625×40589641000000     		ar = 90146518.8072411m²