Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24694 / 40346
↖ ↑ ↗
← S 38.384728°
W 44.351807°		 ← 478.82 m → S 38.384728°
W 44.346313°		 →
↑
478.78 m
↓
↑
478.78 m
↓
S 38.389033°
W 44.351807°		 ← 478.79 m →
229 244 m²		 S 38.389033°
W 44.346313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376808166503906 y=0.615638732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376808166503906 × 216)
    floor (0.376808166503906 × 65536)
    floor (24694.5)     		tx = 24694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615638732910156 × 216)
    floor (0.615638732910156 × 65536)
    floor (40346.5)     		ty = 40346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24694 / 40346 ti = "16/24694/40346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24694/40346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24694 ÷ 216
    24694 ÷ 65536     		x = 0.376800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40346 ÷ 216
    40346 ÷ 65536     		y = 0.615631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.24639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77408506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.726531650641571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77408506} λ = -0.77408506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726531650641571))-π/2
    2×atan(0.483583320730164)-π/2
    2×0.45042822325418-π/2
    0.900856446508359-1.57079632675     		φ = -0.66993988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77408506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.351807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66993988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.384728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24694 KachelY 40346 -0.77408506 -0.66993988 -44.351807 -38.384728
    Oben rechts KachelX + 1 24695 KachelY 40346 -0.77398918 -0.66993988 -44.346313 -38.384728
    Unten links KachelX 24694 KachelY + 1 40347 -0.77408506 -0.67001503 -44.351807 -38.389033
    Unten rechts KachelX + 1 24695 KachelY + 1 40347 -0.77398918 -0.67001503 -44.346313 -38.389033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66993988--0.67001503) × R
    7.51499999999128e-05 × 6371000     		dl = 478.780649999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66993988--0.67001503) × R
    7.51499999999128e-05 × 6371000     		dr = 478.780649999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77408506--0.77398918) × cos(-0.66993988) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.783858998141839 × 6371000     		do = 478.821429125946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77408506--0.77398918) × cos(-0.67001503) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.783812332372931 × 6371000     		du = 478.792923271943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66993988)-sin(-0.67001503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783858998141839-0.783812332372931)×R²
    abs(-0.77398918--0.77408506)×4.66657689077721e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66657689077721e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66657689077721e-05×40589641000000     		ar = 229243.611152814m²