Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24692 / 40134
↖ ↑ ↗
← S 37.466139°
W 44.362793°		 ← 484.79 m → S 37.466139°
W 44.357300°		 →
↑
484.77 m
↓
↑
484.77 m
↓
S 37.470498°
W 44.362793°		 ← 484.76 m →
235 005 m²		 S 37.470498°
W 44.357300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376777648925781 y=0.612403869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376777648925781 × 216)
    floor (0.376777648925781 × 65536)
    floor (24692.5)     		tx = 24692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612403869628906 × 216)
    floor (0.612403869628906 × 65536)
    floor (40134.5)     		ty = 40134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24692 / 40134 ti = "16/24692/40134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24692/40134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24692 ÷ 216
    24692 ÷ 65536     		x = 0.37677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40134 ÷ 216
    40134 ÷ 65536     		y = 0.612396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.2464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.22479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.706206405202667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77427680} λ = -0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.706206405202667))-π/2
    2×atan(0.493512838523074)-π/2
    2×0.458444425095734-π/2
    0.916888850191467-1.57079632675     		φ = -0.65390748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65390748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.466139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24692 KachelY 40134 -0.77427680 -0.65390748 -44.362793 -37.466139
    Oben rechts KachelX + 1 24693 KachelY 40134 -0.77418093 -0.65390748 -44.357300 -37.466139
    Unten links KachelX 24692 KachelY + 1 40135 -0.77427680 -0.65398357 -44.362793 -37.470498
    Unten rechts KachelX + 1 24693 KachelY + 1 40135 -0.77418093 -0.65398357 -44.357300 -37.470498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65390748--0.65398357) × R
    7.60899999999731e-05 × 6371000     		dl = 484.769389999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65390748--0.65398357) × R
    7.60899999999731e-05 × 6371000     		dr = 484.769389999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77427680--0.77418093) × cos(-0.65390748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.793712973334851 × 6371000     		do = 484.790177003253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77427680--0.77418093) × cos(-0.65398357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.793666686063997 × 6371000     		du = 484.761905304308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65390748)-sin(-0.65398357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793712973334851-0.793666686063997)×R²
    abs(-0.77418093--0.77427680)×4.6287270853651e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6287270853651e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6287270853651e-05×40589641000000     		ar = 235004.58587005m²