Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24691 / 40348
↖ ↑ ↗
← S 38.393339°
W 44.368286°		 ← 478.76 m → S 38.393339°
W 44.362793°		 →
↑
478.72 m
↓
↑
478.72 m
↓
S 38.397644°
W 44.368286°		 ← 478.74 m →
229 186 m²		 S 38.397644°
W 44.362793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376762390136719 y=0.615669250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376762390136719 × 216)
    floor (0.376762390136719 × 65536)
    floor (24691.5)     		tx = 24691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615669250488281 × 216)
    floor (0.615669250488281 × 65536)
    floor (40348.5)     		ty = 40348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24691 / 40348 ti = "16/24691/40348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24691/40348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24691 ÷ 216
    24691 ÷ 65536     		x = 0.376754760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40348 ÷ 216
    40348 ÷ 65536     		y = 0.61566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376754760742188 × 2 - 1) × π
    -0.246490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77437268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.2313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.726723398240051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77437268} λ = -0.77437268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726723398240051))-π/2
    2×atan(0.483490603679169)-π/2
    2×0.450353076187986-π/2
    0.900706152375972-1.57079632675     		φ = -0.67009017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77437268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.368286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67009017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.393339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24691 KachelY 40348 -0.77437268 -0.67009017 -44.368286 -38.393339
    Oben rechts KachelX + 1 24692 KachelY 40348 -0.77427680 -0.67009017 -44.362793 -38.393339
    Unten links KachelX 24691 KachelY + 1 40349 -0.77437268 -0.67016531 -44.368286 -38.397644
    Unten rechts KachelX + 1 24692 KachelY + 1 40349 -0.77427680 -0.67016531 -44.362793 -38.397644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67009017--0.67016531) × R
    7.51399999999736e-05 × 6371000     		dl = 478.716939999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67009017--0.67016531) × R
    7.51399999999736e-05 × 6371000     		dr = 478.716939999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77437268--0.77427680) × cos(-0.67009017) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.783765668387993 × 6371000     		do = 478.764418508235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77437268--0.77427680) × cos(-0.67016531) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.783718999977897 × 6371000     		du = 478.735911040859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67009017)-sin(-0.67016531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783765668387993-0.783718999977897)×R²
    abs(-0.77427680--0.77437268)×4.6668410095263e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6668410095263e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6668410095263e-05×40589641000000     		ar = 229185.814013086m²