Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24690 / 40349
↖ ↑ ↗
← S 38.397644°
W 44.373779°		 ← 478.69 m → S 38.397644°
W 44.368286°		 →
↑
478.72 m
↓
↑
478.72 m
↓
S 38.401949°
W 44.373779°		 ← 478.66 m →
229 148 m²		 S 38.401949°
W 44.368286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376747131347656 y=0.615684509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376747131347656 × 216)
    floor (0.376747131347656 × 65536)
    floor (24690.5)     		tx = 24690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615684509277344 × 216)
    floor (0.615684509277344 × 65536)
    floor (40349.5)     		ty = 40349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24690 / 40349 ti = "16/24690/40349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24690/40349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24690 ÷ 216
    24690 ÷ 65536     		x = 0.376739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40349 ÷ 216
    40349 ÷ 65536     		y = 0.615676879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.24652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77446855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615676879882812 × 2 - 1) × π
    -0.231353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.726819272039291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77446855} λ = -0.77446855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726819272039291))-π/2
    2×atan(0.483444251820098)-π/2
    2×0.450315506010514-π/2
    0.900631012021029-1.57079632675     		φ = -0.67016531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77446855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67016531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.397644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24690 KachelY 40349 -0.77446855 -0.67016531 -44.373779 -38.397644
    Oben rechts KachelX + 1 24691 KachelY 40349 -0.77437268 -0.67016531 -44.368286 -38.397644
    Unten links KachelX 24690 KachelY + 1 40350 -0.77446855 -0.67024045 -44.373779 -38.401949
    Unten rechts KachelX + 1 24691 KachelY + 1 40350 -0.77437268 -0.67024045 -44.368286 -38.401949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67016531--0.67024045) × R
    7.51399999999736e-05 × 6371000     		dl = 478.716939999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67016531--0.67024045) × R
    7.51399999999736e-05 × 6371000     		dr = 478.716939999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77446855--0.77437268) × cos(-0.67016531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.783718999977897 × 6371000     		do = 478.685980303119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77446855--0.77437268) × cos(-0.67024045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.783672327142909 × 6371000     		du = 478.657473106318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67016531)-sin(-0.67024045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783718999977897-0.783672327142909)×R²
    abs(-0.77437268--0.77446855)×4.66728349880485e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66728349880485e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66728349880485e-05×40589641000000     		ar = 229148.264380206m²