Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2469 / 2601
↖ ↑ ↗
← S 43.644026°
E 37.001953°		 ← 7 072.14 m → S 43.644026°
E 37.089844°		 →
↑
7 068.37 m
↓
↑
7 068.37 m
↓
S 43.707593°
E 37.001953°		 ← 7 064.65 m →
49 962 049 m²		 S 43.707593°
E 37.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6029052734375 y=0.6351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6029052734375 × 212)
    floor (0.6029052734375 × 4096)
    floor (2469.5)     		tx = 2469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6351318359375 × 212)
    floor (0.6351318359375 × 4096)
    floor (2601.5)     		ty = 2601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2469 / 2601 ti = "12/2469/2601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2469/2601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2469 ÷ 212
    2469 ÷ 4096     		x = 0.602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2601 ÷ 212
    2601 ÷ 4096     		y = 0.635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602783203125 × 2 - 1) × π
    0.20556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64580591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.27001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.848291375676514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64580591} λ = 0.64580591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848291375676514))-π/2
    2×atan(0.428145847750114)-π/2
    2×0.404532188472288-π/2
    0.809064376944576-1.57079632675     		φ = -0.76173195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64580591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.001953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76173195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.644026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2469 KachelY 2601 0.64580591 -0.76173195 37.001953 -43.644026
    Oben rechts KachelX + 1 2470 KachelY 2601 0.64733989 -0.76173195 37.089844 -43.644026
    Unten links KachelX 2469 KachelY + 1 2602 0.64580591 -0.76284141 37.001953 -43.707593
    Unten rechts KachelX + 1 2470 KachelY + 1 2602 0.64733989 -0.76284141 37.089844 -43.707593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76173195--0.76284141) × R
    0.00110946000000001 × 6371000     		dl = 7068.36966000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76173195--0.76284141) × R
    0.00110946000000001 × 6371000     		dr = 7068.36966000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64580591-0.64733989) × cos(-0.76173195) × R
    0.00153398000000005 × 0.723641746713376 × 6371000     		do = 7072.1410793578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64580591-0.64733989) × cos(-0.76284141) × R
    0.00153398000000005 × 0.72287557907163 × 6371000     		du = 7064.65333327698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76173195)-sin(-0.76284141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723641746713376-0.72287557907163)×R²
    abs(0.64733989-0.64580591)×0.000766167641746418×R²
    0.00153398000000005×0.000766167641746418×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766167641746418×40589641000000     		ar = 49962049.4828284m²