Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24688 / 40338
↖ ↑ ↗
← S 38.350272°
W 44.384766°		 ← 479.05 m → S 38.350272°
W 44.379272°		 →
↑
479.04 m
↓
↑
479.04 m
↓
S 38.354580°
W 44.384766°		 ← 479.02 m →
229 475 m²		 S 38.354580°
W 44.379272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376716613769531 y=0.615516662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376716613769531 × 216)
    floor (0.376716613769531 × 65536)
    floor (24688.5)     		tx = 24688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615516662597656 × 216)
    floor (0.615516662597656 × 65536)
    floor (40338.5)     		ty = 40338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24688 / 40338 ti = "16/24688/40338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24688/40338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24688 ÷ 216
    24688 ÷ 65536     		x = 0.376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40338 ÷ 216
    40338 ÷ 65536     		y = 0.615509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.23101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.72576466024765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77466030} λ = -0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72576466024765))-π/2
    2×atan(0.483954366768008)-π/2
    2×0.450728900990703-π/2
    0.901457801981406-1.57079632675     		φ = -0.66933852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66933852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.350272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24688 KachelY 40338 -0.77466030 -0.66933852 -44.384766 -38.350272
    Oben rechts KachelX + 1 24689 KachelY 40338 -0.77456442 -0.66933852 -44.379272 -38.350272
    Unten links KachelX 24688 KachelY + 1 40339 -0.77466030 -0.66941371 -44.384766 -38.354580
    Unten rechts KachelX + 1 24689 KachelY + 1 40339 -0.77456442 -0.66941371 -44.379272 -38.354580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66933852--0.66941371) × R
    7.51900000000028e-05 × 6371000     		dl = 479.035490000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66933852--0.66941371) × R
    7.51900000000028e-05 × 6371000     		dr = 479.035490000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77466030--0.77456442) × cos(-0.66933852) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.78423226417875 × 6371000     		do = 479.049439237026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77466030--0.77456442) × cos(-0.66941371) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.784185609020487 × 6371000     		du = 479.020939864552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66933852)-sin(-0.66941371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78423226417875-0.784185609020487)×R²
    abs(-0.77456442--0.77466030)×4.66551582634089e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66551582634089e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66551582634089e-05×40589641000000     		ar = 229474.856861737m²