Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24687 / 40132
↖ ↑ ↗
← S 37.457418°
W 44.390259°		 ← 484.85 m → S 37.457418°
W 44.384766°		 →
↑
484.83 m
↓
↑
484.83 m
↓
S 37.461779°
W 44.390259°		 ← 484.82 m →
235 063 m²		 S 37.461779°
W 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376701354980469 y=0.612373352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376701354980469 × 216)
    floor (0.376701354980469 × 65536)
    floor (24687.5)     		tx = 24687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612373352050781 × 216)
    floor (0.612373352050781 × 65536)
    floor (40132.5)     		ty = 40132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24687 / 40132 ti = "16/24687/40132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24687/40132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24687 ÷ 216
    24687 ÷ 65536     		x = 0.376693725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40132 ÷ 216
    40132 ÷ 65536     		y = 0.61236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376693725585938 × 2 - 1) × π
    -0.246612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77475617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.2247314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.706014657604187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77475617} λ = -0.77475617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.706014657604187))-π/2
    2×atan(0.493607477497788)-π/2
    2×0.458520525811953-π/2
    0.917041051623905-1.57079632675     		φ = -0.65375528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77475617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.390259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65375528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.457418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24687 KachelY 40132 -0.77475617 -0.65375528 -44.390259 -37.457418
    Oben rechts KachelX + 1 24688 KachelY 40132 -0.77466030 -0.65375528 -44.384766 -37.457418
    Unten links KachelX 24687 KachelY + 1 40133 -0.77475617 -0.65383138 -44.390259 -37.461779
    Unten rechts KachelX + 1 24688 KachelY + 1 40133 -0.77466030 -0.65383138 -44.384766 -37.461779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65375528--0.65383138) × R
    7.60999999999123e-05 × 6371000     		dl = 484.833099999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65375528--0.65383138) × R
    7.60999999999123e-05 × 6371000     		dr = 484.833099999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77475617--0.77466030) × cos(-0.65375528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.793805546253672 × 6371000     		do = 484.846719409901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77475617--0.77466030) × cos(-0.65383138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.793759262092675 × 6371000     		du = 484.81844961042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65375528)-sin(-0.65383138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793805546253672-0.793759262092675)×R²
    abs(-0.77466030--0.77475617)×4.62841609970566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62841609970566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62841609970566e-05×40589641000000     		ar = 235062.885042109m²