Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24687 / 25232
↖ ↑ ↗
← S 69.224997°
E 91.219482°		 ← 433.31 m → S 69.224997°
E 91.230469°		 →
↑
433.29 m
↓
↑
433.29 m
↓
S 69.228894°
E 91.219482°		 ← 433.24 m →
187 735 m²		 S 69.228894°
E 91.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753402709960938 y=0.770034790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753402709960938 × 215)
    floor (0.753402709960938 × 32768)
    floor (24687.5)     		tx = 24687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770034790039062 × 215)
    floor (0.770034790039062 × 32768)
    floor (25232.5)     		ty = 25232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24687 / 25232 ti = "15/24687/25232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24687/25232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24687 ÷ 215
    24687 ÷ 32768     		x = 0.753387451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25232 ÷ 215
    25232 ÷ 32768     		y = 0.77001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753387451171875 × 2 - 1) × π
    0.50677490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.59208031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69658275135303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59208031} λ = 1.59208031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69658275135303))-π/2
    2×atan(0.183308866945664)-π/2
    2×0.181296103512529-π/2
    0.362592207025057-1.57079632675     		φ = -1.20820412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59208031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.219482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20820412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.224997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24687 KachelY 25232 1.59208031 -1.20820412 91.219482 -69.224997
    Oben rechts KachelX + 1 24688 KachelY 25232 1.59227206 -1.20820412 91.230469 -69.224997
    Unten links KachelX 24687 KachelY + 1 25233 1.59208031 -1.20827213 91.219482 -69.228894
    Unten rechts KachelX + 1 24688 KachelY + 1 25233 1.59227206 -1.20827213 91.230469 -69.228894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20820412--1.20827213) × R
    6.80100000001183e-05 × 6371000     		dl = 433.291710000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20820412--1.20827213) × R
    6.80100000001183e-05 × 6371000     		dr = 433.291710000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59208031-1.59227206) × cos(-1.20820412) × R
    0.000191749999999935 × 0.354699085104731 × 6371000     		do = 433.314324302882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59208031-1.59227206) × cos(-1.20827213) × R
    0.000191749999999935 × 0.354635496259809 × 6371000     		du = 433.236641674064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20820412)-sin(-1.20827213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354699085104731-0.354635496259809)×R²
    abs(1.59227206-1.59208031)×6.35888449215805e-05×R²
    0.000191749999999935×6.35888449215805e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.35888449215805e-05×40589641000000     		ar = 187734.674997788m²