Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24685 / 40341
↖ ↑ ↗
← S 38.363195°
W 44.401245°		 ← 478.91 m → S 38.363195°
W 44.395752°		 →
↑
478.91 m
↓
↑
478.91 m
↓
S 38.367502°
W 44.401245°		 ← 478.89 m →
229 349 m²		 S 38.367502°
W 44.395752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376670837402344 y=0.615562438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376670837402344 × 216)
    floor (0.376670837402344 × 65536)
    floor (24685.5)     		tx = 24685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615562438964844 × 216)
    floor (0.615562438964844 × 65536)
    floor (40341.5)     		ty = 40341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24685 / 40341 ti = "16/24685/40341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24685/40341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24685 ÷ 216
    24685 ÷ 65536     		x = 0.376663208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40341 ÷ 216
    40341 ÷ 65536     		y = 0.615554809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376663208007812 × 2 - 1) × π
    -0.246673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77494792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615554809570312 × 2 - 1) × π
    -0.231109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.726052281645371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77494792} λ = -0.77494792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726052281645371))-π/2
    2×atan(0.483815191152508)-π/2
    2×0.45061613006494-π/2
    0.90123226012988-1.57079632675     		φ = -0.66956407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77494792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.401245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66956407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.363195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24685 KachelY 40341 -0.77494792 -0.66956407 -44.401245 -38.363195
    Oben rechts KachelX + 1 24686 KachelY 40341 -0.77485205 -0.66956407 -44.395752 -38.363195
    Unten links KachelX 24685 KachelY + 1 40342 -0.77494792 -0.66963924 -44.401245 -38.367502
    Unten rechts KachelX + 1 24686 KachelY + 1 40342 -0.77485205 -0.66963924 -44.395752 -38.367502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66956407--0.66963924) × R
    7.51700000000133e-05 × 6371000     		dl = 478.908070000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66956407--0.66963924) × R
    7.51700000000133e-05 × 6371000     		dr = 478.908070000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77494792--0.77485205) × cos(-0.66956407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.784092297816844 × 6371000     		do = 478.913986057715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77494792--0.77485205) × cos(-0.66963924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.78404564177435 × 6371000     		du = 478.885489117564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66956407)-sin(-0.66963924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784092297816844-0.78404564177435)×R²
    abs(-0.77485205--0.77494792)×4.66560424942086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66560424942086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66560424942086e-05×40589641000000     		ar = 229348.949159824m²