Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2468 / 1867
↖ ↑ ↗
← N 15.707663°
E 36.914062°		 ← 9 408.02 m → N 15.707663°
E 37.001953°		 →
↑
9 409.97 m
↓
↑
9 409.97 m
↓
N 15.623037°
E 36.914062°		 ← 9 411.92 m →
88 547 510 m²		 N 15.623037°
E 37.001953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6026611328125 y=0.4559326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6026611328125 × 212)
    floor (0.6026611328125 × 4096)
    floor (2468.5)     		tx = 2468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4559326171875 × 212)
    floor (0.4559326171875 × 4096)
    floor (1867.5)     		ty = 1867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2468 / 1867 ti = "12/2468/1867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2468/1867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2468 ÷ 212
    2468 ÷ 4096     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1867 ÷ 212
    1867 ÷ 4096     		y = 0.455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    0.08837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.277650522599365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.277650522599365))-π/2
    2×atan(1.32002479775436)-π/2
    2×0.92247337995471-π/2
    1.84494675990942-1.57079632675     		φ = 0.27415043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27415043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.707663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2468 KachelY 1867 0.64427193 0.27415043 36.914062 15.707663
    Oben rechts KachelX + 1 2469 KachelY 1867 0.64580591 0.27415043 37.001953 15.707663
    Unten links KachelX 2468 KachelY + 1 1868 0.64427193 0.27267343 36.914062 15.623037
    Unten rechts KachelX + 1 2469 KachelY + 1 1868 0.64580591 0.27267343 37.001953 15.623037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27415043-0.27267343) × R
    0.00147700000000001 × 6371000     		dl = 9409.96700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27415043-0.27267343) × R
    0.00147700000000001 × 6371000     		dr = 9409.96700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.64580591) × cos(0.27415043) × R
    0.00153397999999993 × 0.962655548407312 × 6371000     		do = 9408.0197557468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.64580591) × cos(0.27267343) × R
    0.00153397999999993 × 0.963054365247437 × 6371000     		du = 9411.91738737322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27415043)-sin(0.27267343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962655548407312-0.963054365247437)×R²
    abs(0.64580591-0.64427193)×0.000398816840125327×R²
    0.00153397999999993×0.000398816840125327×6371000²
    0.00153397999999993×0.000398816840125327×40589641000000     		ar = 88547509.8268297m²