Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24676 / 41062
↖ ↑ ↗
← S 41.401536°
W 44.450683°		 ← 458.15 m → S 41.401536°
W 44.445190°		 →
↑
458.14 m
↓
↑
458.14 m
↓
S 41.405656°
W 44.450683°		 ← 458.12 m →
209 889 m²		 S 41.405656°
W 44.445190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376533508300781 y=0.626564025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376533508300781 × 216)
    floor (0.376533508300781 × 65536)
    floor (24676.5)     		tx = 24676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626564025878906 × 216)
    floor (0.626564025878906 × 65536)
    floor (41062.5)     		ty = 41062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24676 / 41062 ti = "16/24676/41062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24676/41062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24676 ÷ 216
    24676 ÷ 65536     		x = 0.37652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41062 ÷ 216
    41062 ÷ 65536     		y = 0.626556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.2469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77581078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.25311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.795177290897491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77581078} λ = -0.77581078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795177290897491))-π/2
    2×atan(0.451501180776808)-π/2
    2×0.424101607754388-π/2
    0.848203215508777-1.57079632675     		φ = -0.72259311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77581078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.450683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72259311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.401536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24676 KachelY 41062 -0.77581078 -0.72259311 -44.450683 -41.401536
    Oben rechts KachelX + 1 24677 KachelY 41062 -0.77571491 -0.72259311 -44.445190 -41.401536
    Unten links KachelX 24676 KachelY + 1 41063 -0.77581078 -0.72266502 -44.450683 -41.405656
    Unten rechts KachelX + 1 24677 KachelY + 1 41063 -0.77571491 -0.72266502 -44.445190 -41.405656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72259311--0.72266502) × R
    7.19099999999528e-05 × 6371000     		dl = 458.1386099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72259311--0.72266502) × R
    7.19099999999528e-05 × 6371000     		dr = 458.1386099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77581078--0.77571491) × cos(-0.72259311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750093346418455 × 6371000     		do = 458.147842350756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77581078--0.77571491) × cos(-0.72266502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750045788097306 × 6371000     		du = 458.118794309836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72259311)-sin(-0.72266502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750093346418455-0.750045788097306)×R²
    abs(-0.77571491--0.77581078)×4.75583211492214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75583211492214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75583211492214e-05×40589641000000     		ar = 209888.561744907m²