Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24667 / 41067
↖ ↑ ↗
← S 41.422134°
W 44.500122°		 ← 458.05 m → S 41.422134°
W 44.494629°		 →
↑
457.95 m
↓
↑
457.95 m
↓
S 41.426253°
W 44.500122°		 ← 458.02 m →
209 756 m²		 S 41.426253°
W 44.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376396179199219 y=0.626640319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376396179199219 × 216)
    floor (0.376396179199219 × 65536)
    floor (24667.5)     		tx = 24667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626640319824219 × 216)
    floor (0.626640319824219 × 65536)
    floor (41067.5)     		ty = 41067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24667 / 41067 ti = "16/24667/41067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24667/41067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24667 ÷ 216
    24667 ÷ 65536     		x = 0.376388549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41067 ÷ 216
    41067 ÷ 65536     		y = 0.626632690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376388549804688 × 2 - 1) × π
    -0.247222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77667365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626632690429688 × 2 - 1) × π
    -0.253265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.795656659893692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77667365} λ = -0.77667365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795656659893692))-π/2
    2×atan(0.451284796976982)-π/2
    2×0.423921850506211-π/2
    0.847843701012422-1.57079632675     		φ = -0.72295263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77667365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.500122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72295263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.422134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24667 KachelY 41067 -0.77667365 -0.72295263 -44.500122 -41.422134
    Oben rechts KachelX + 1 24668 KachelY 41067 -0.77657777 -0.72295263 -44.494629 -41.422134
    Unten links KachelX 24667 KachelY + 1 41068 -0.77667365 -0.72302451 -44.500122 -41.426253
    Unten rechts KachelX + 1 24668 KachelY + 1 41068 -0.77657777 -0.72302451 -44.494629 -41.426253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72295263--0.72302451) × R
    7.18800000000241e-05 × 6371000     		dl = 457.947480000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72295263--0.72302451) × R
    7.18800000000241e-05 × 6371000     		dr = 457.947480000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77667365--0.77657777) × cos(-0.72295263) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.749855535877989 × 6371000     		do = 458.050363877493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77667365--0.77657777) × cos(-0.72302451) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.749807978017968 × 6371000     		du = 458.021313088313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72295263)-sin(-0.72302451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749855535877989-0.749807978017968)×R²
    abs(-0.77657777--0.77667365)×4.75578600209747e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75578600209747e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75578600209747e-05×40589641000000     		ar = 209756.358073214m²