Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24665 / 41065
↖ ↑ ↗
← S 41.413895°
W 44.511109°		 ← 458.11 m → S 41.413895°
W 44.505615°		 →
↑
458.07 m
↓
↑
458.07 m
↓
S 41.418015°
W 44.511109°		 ← 458.08 m →
209 841 m²		 S 41.418015°
W 44.505615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376365661621094 y=0.626609802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376365661621094 × 216)
    floor (0.376365661621094 × 65536)
    floor (24665.5)     		tx = 24665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626609802246094 × 216)
    floor (0.626609802246094 × 65536)
    floor (41065.5)     		ty = 41065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24665 / 41065 ti = "16/24665/41065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24665/41065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24665 ÷ 216
    24665 ÷ 65536     		x = 0.376358032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41065 ÷ 216
    41065 ÷ 65536     		y = 0.626602172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.247283935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77686540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626602172851562 × 2 - 1) × π
    -0.253204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.795464912295212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77686540} λ = -0.77686540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795464912295212))-π/2
    2×atan(0.451371338049789)-π/2
    2×0.423993746565626-π/2
    0.847987493131252-1.57079632675     		φ = -0.72280883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77686540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.511109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72280883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.413895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24665 KachelY 41065 -0.77686540 -0.72280883 -44.511109 -41.413895
    Oben rechts KachelX + 1 24666 KachelY 41065 -0.77676952 -0.72280883 -44.505615 -41.413895
    Unten links KachelX 24665 KachelY + 1 41066 -0.77686540 -0.72288073 -44.511109 -41.418015
    Unten rechts KachelX + 1 24666 KachelY + 1 41066 -0.77676952 -0.72288073 -44.505615 -41.418015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72280883--0.72288073) × R
    7.19000000000136e-05 × 6371000     		dl = 458.074900000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72280883--0.72288073) × R
    7.19000000000136e-05 × 6371000     		dr = 458.074900000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77686540--0.77676952) × cos(-0.72280883) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.749950666434623 × 6371000     		do = 458.108474518806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77686540--0.77676952) × cos(-0.72288073) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.749903103094659 × 6371000     		du = 458.079420382195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72280883)-sin(-0.72288073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749950666434623-0.749903103094659)×R²
    abs(-0.77676952--0.77686540)×4.75633399636965e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75633399636965e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75633399636965e-05×40589641000000     		ar = 209841.339259412m²