Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24663 / 40062
↖ ↑ ↗
← S 37.151560°
W 44.522095°		 ← 486.82 m → S 37.151560°
W 44.516602°		 →
↑
486.87 m
↓
↑
486.87 m
↓
S 37.155939°
W 44.522095°		 ← 486.79 m →
237 013 m²		 S 37.155939°
W 44.516602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376335144042969 y=0.611305236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376335144042969 × 216)
    floor (0.376335144042969 × 65536)
    floor (24663.5)     		tx = 24663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611305236816406 × 216)
    floor (0.611305236816406 × 65536)
    floor (40062.5)     		ty = 40062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24663 / 40062 ti = "16/24663/40062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24663/40062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24663 ÷ 216
    24663 ÷ 65536     		x = 0.376327514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40062 ÷ 216
    40062 ÷ 65536     		y = 0.611297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376327514648438 × 2 - 1) × π
    -0.247344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77705714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611297607421875 × 2 - 1) × π
    -0.22259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.699303491657379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77705714} λ = -0.77705714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699303491657379))-π/2
    2×atan(0.496931300078986)-π/2
    2×0.46118963689646-π/2
    0.92237927379292-1.57079632675     		φ = -0.64841705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77705714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.522095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64841705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.151560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24663 KachelY 40062 -0.77705714 -0.64841705 -44.522095 -37.151560
    Oben rechts KachelX + 1 24664 KachelY 40062 -0.77696127 -0.64841705 -44.516602 -37.151560
    Unten links KachelX 24663 KachelY + 1 40063 -0.77705714 -0.64849347 -44.522095 -37.155939
    Unten rechts KachelX + 1 24664 KachelY + 1 40063 -0.77696127 -0.64849347 -44.516602 -37.155939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64841705--0.64849347) × R
    7.6419999999966e-05 × 6371000     		dl = 486.871819999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64841705--0.64849347) × R
    7.6419999999966e-05 × 6371000     		dr = 486.871819999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77705714--0.77696127) × cos(-0.64841705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.797040780584343 × 6371000     		do = 486.822760972159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77705714--0.77696127) × cos(-0.64849347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.796994626271291 × 6371000     		du = 486.794570482214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64841705)-sin(-0.64849347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.797040780584343-0.796994626271291)×R²
    abs(-0.77696127--0.77705714)×4.61543130522157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61543130522157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61543130522157e-05×40589641000000     		ar = 237013.421189662m²