Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24661 / 40529
↖ ↑ ↗
← S 39.168400°
W 44.533081°		 ← 473.54 m → S 39.168400°
W 44.527588°		 →
↑
473.56 m
↓
↑
473.56 m
↓
S 39.172659°
W 44.533081°		 ← 473.51 m →
224 241 m²		 S 39.172659°
W 44.527588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376304626464844 y=0.618431091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376304626464844 × 216)
    floor (0.376304626464844 × 65536)
    floor (24661.5)     		tx = 24661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618431091308594 × 216)
    floor (0.618431091308594 × 65536)
    floor (40529.5)     		ty = 40529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24661 / 40529 ti = "16/24661/40529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24661/40529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24661 ÷ 216
    24661 ÷ 65536     		x = 0.376296997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40529 ÷ 216
    40529 ÷ 65536     		y = 0.618423461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.247406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77724889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618423461914062 × 2 - 1) × π
    -0.236846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.744076555902512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77724889} λ = -0.77724889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744076555902512))-π/2
    2×atan(0.475172893003988)-π/2
    2×0.443589392141314-π/2
    0.887178784282628-1.57079632675     		φ = -0.68361754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77724889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.533081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68361754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.168400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24661 KachelY 40529 -0.77724889 -0.68361754 -44.533081 -39.168400
    Oben rechts KachelX + 1 24662 KachelY 40529 -0.77715302 -0.68361754 -44.527588 -39.168400
    Unten links KachelX 24661 KachelY + 1 40530 -0.77724889 -0.68369187 -44.533081 -39.172659
    Unten rechts KachelX + 1 24662 KachelY + 1 40530 -0.77715302 -0.68369187 -44.527588 -39.172659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68361754--0.68369187) × R
    7.43300000000113e-05 × 6371000     		dl = 473.556430000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68361754--0.68369187) × R
    7.43300000000113e-05 × 6371000     		dr = 473.556430000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77724889--0.77715302) × cos(-0.68361754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775292951911797 × 6371000     		do = 473.539453194913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77724889--0.77715302) × cos(-0.68369187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775246002808028 × 6371000     		du = 473.510777256519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68361754)-sin(-0.68369187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775292951911797-0.775246002808028)×R²
    abs(-0.77715302--0.77724889)×4.69491037691228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69491037691228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69491037691228e-05×40589641000000     		ar = 224240.863185252m²