Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24661 / 25309
↖ ↑ ↗
← S 69.522990°
E 90.933838°		 ← 427.37 m → S 69.522990°
E 90.944824°		 →
↑
427.37 m
↓
↑
427.37 m
↓
S 69.526834°
E 90.933838°		 ← 427.29 m →
182 626 m²		 S 69.526834°
E 90.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752609252929688 y=0.772384643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752609252929688 × 215)
    floor (0.752609252929688 × 32768)
    floor (24661.5)     		tx = 24661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772384643554688 × 215)
    floor (0.772384643554688 × 32768)
    floor (25309.5)     		ty = 25309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24661 / 25309 ti = "15/24661/25309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24661/25309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24661 ÷ 215
    24661 ÷ 32768     		x = 0.752593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25309 ÷ 215
    25309 ÷ 32768     		y = 0.772369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752593994140625 × 2 - 1) × π
    0.50518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58709487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.54473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.711347316436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58709487} λ = 1.58709487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.711347316436))-π/2
    2×atan(0.18062227324768)-π/2
    2×0.178695617102536-π/2
    0.357391234205073-1.57079632675     		φ = -1.21340509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58709487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.933838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21340509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.522990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24661 KachelY 25309 1.58709487 -1.21340509 90.933838 -69.522990
    Oben rechts KachelX + 1 24662 KachelY 25309 1.58728662 -1.21340509 90.944824 -69.522990
    Unten links KachelX 24661 KachelY + 1 25310 1.58709487 -1.21347217 90.933838 -69.526834
    Unten rechts KachelX + 1 24662 KachelY + 1 25310 1.58728662 -1.21347217 90.944824 -69.526834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21340509--1.21347217) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dl = 427.366679999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21340509--1.21347217) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dr = 427.366679999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58709487-1.58728662) × cos(-1.21340509) × R
    0.000191749999999935 × 0.349831504120985 × 6371000     		do = 427.367896320587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58709487-1.58728662) × cos(-1.21347217) × R
    0.000191749999999935 × 0.349768661942202 × 6371000     		du = 427.29112584843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21340509)-sin(-1.21347217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349831504120985-0.349768661942202)×R²
    abs(1.58728662-1.58709487)×6.28421787832179e-05×R²
    0.000191749999999935×6.28421787832179e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.28421787832179e-05×40589641000000     		ar = 182626.394486871m²