Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24660 / 40060
↖ ↑ ↗
← S 37.142803°
W 44.538574°		 ← 486.88 m → S 37.142803°
W 44.533081°		 →
↑
486.94 m
↓
↑
486.94 m
↓
S 37.147182°
W 44.538574°		 ← 486.85 m →
237 072 m²		 S 37.147182°
W 44.533081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376289367675781 y=0.611274719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376289367675781 × 216)
    floor (0.376289367675781 × 65536)
    floor (24660.5)     		tx = 24660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611274719238281 × 216)
    floor (0.611274719238281 × 65536)
    floor (40060.5)     		ty = 40060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24660 / 40060 ti = "16/24660/40060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24660/40060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24660 ÷ 216
    24660 ÷ 65536     		x = 0.37628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40060 ÷ 216
    40060 ÷ 65536     		y = 0.61126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.2474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77734476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.2225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.699111744058899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77734476} λ = -0.77734476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699111744058899))-π/2
    2×atan(0.497026594598341)-π/2
    2×0.461266056648439-π/2
    0.922532113296878-1.57079632675     		φ = -0.64826421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77734476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.538574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64826421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.142803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24660 KachelY 40060 -0.77734476 -0.64826421 -44.538574 -37.142803
    Oben rechts KachelX + 1 24661 KachelY 40060 -0.77724889 -0.64826421 -44.533081 -37.142803
    Unten links KachelX 24660 KachelY + 1 40061 -0.77734476 -0.64834064 -44.538574 -37.147182
    Unten rechts KachelX + 1 24661 KachelY + 1 40061 -0.77724889 -0.64834064 -44.533081 -37.147182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64826421--0.64834064) × R
    7.64300000000162e-05 × 6371000     		dl = 486.935530000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64826421--0.64834064) × R
    7.64300000000162e-05 × 6371000     		dr = 486.935530000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77734476--0.77724889) × cos(-0.64826421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.797133075245984 × 6371000     		do = 486.879133422726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77734476--0.77724889) × cos(-0.64834064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.797086924204018 × 6371000     		du = 486.850944930721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64826421)-sin(-0.64834064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.797133075245984-0.797086924204018)×R²
    abs(-0.77724889--0.77734476)×4.61510419661471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61510419661471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61510419661471e-05×40589641000000     		ar = 237071.88600545m²