Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24658 / 40160
↖ ↑ ↗
← S 37.579413°
W 44.549560°		 ← 484.05 m → S 37.579413°
W 44.544067°		 →
↑
484.07 m
↓
↑
484.07 m
↓
S 37.583766°
W 44.549560°		 ← 484.03 m →
234 309 m²		 S 37.583766°
W 44.544067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376258850097656 y=0.612800598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376258850097656 × 216)
    floor (0.376258850097656 × 65536)
    floor (24658.5)     		tx = 24658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612800598144531 × 216)
    floor (0.612800598144531 × 65536)
    floor (40160.5)     		ty = 40160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24658 / 40160 ti = "16/24658/40160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24658/40160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24658 ÷ 216
    24658 ÷ 65536     		x = 0.376251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40160 ÷ 216
    40160 ÷ 65536     		y = 0.61279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24749755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77753651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61279296875 × 2 - 1) × π
    -0.2255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.70869912398291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77753651} λ = -0.77753651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70869912398291))-π/2
    2×atan(0.492284181786261)-π/2
    2×0.457455923743146-π/2
    0.914911847486292-1.57079632675     		φ = -0.65588448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77753651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.549560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65588448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.579413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24658 KachelY 40160 -0.77753651 -0.65588448 -44.549560 -37.579413
    Oben rechts KachelX + 1 24659 KachelY 40160 -0.77744064 -0.65588448 -44.544067 -37.579413
    Unten links KachelX 24658 KachelY + 1 40161 -0.77753651 -0.65596046 -44.549560 -37.583766
    Unten rechts KachelX + 1 24659 KachelY + 1 40161 -0.77744064 -0.65596046 -44.544067 -37.583766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65588448--0.65596046) × R
    7.59799999999755e-05 × 6371000     		dl = 484.068579999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65588448--0.65596046) × R
    7.59799999999755e-05 × 6371000     		dr = 484.068579999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77753651--0.77744064) × cos(-0.65588448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792508828801761 × 6371000     		do = 484.054700249129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77753651--0.77744064) × cos(-0.65596046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792462489318014 × 6371000     		du = 484.026396659188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65588448)-sin(-0.65596046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792508828801761-0.792462489318014)×R²
    abs(-0.77744064--0.77753651)×4.63394837473263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63394837473263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63394837473263e-05×40589641000000     		ar = 234308.821065078m²