Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24658 / 40158
↖ ↑ ↗
← S 37.570705°
W 44.549560°		 ← 484.11 m → S 37.570705°
W 44.544067°		 →
↑
484.13 m
↓
↑
484.13 m
↓
S 37.575059°
W 44.549560°		 ← 484.08 m →
234 367 m²		 S 37.575059°
W 44.544067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376258850097656 y=0.612770080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376258850097656 × 216)
    floor (0.376258850097656 × 65536)
    floor (24658.5)     		tx = 24658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612770080566406 × 216)
    floor (0.612770080566406 × 65536)
    floor (40158.5)     		ty = 40158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24658 / 40158 ti = "16/24658/40158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24658/40158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24658 ÷ 216
    24658 ÷ 65536     		x = 0.376251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40158 ÷ 216
    40158 ÷ 65536     		y = 0.612762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24749755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77753651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.22552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.70850737638443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77753651} λ = -0.77753651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70850737638443))-π/2
    2×atan(0.492378585146408)-π/2
    2×0.457531909017987-π/2
    0.915063818035975-1.57079632675     		φ = -0.65573251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77753651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.549560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65573251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.570705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24658 KachelY 40158 -0.77753651 -0.65573251 -44.549560 -37.570705
    Oben rechts KachelX + 1 24659 KachelY 40158 -0.77744064 -0.65573251 -44.544067 -37.570705
    Unten links KachelX 24658 KachelY + 1 40159 -0.77753651 -0.65580850 -44.549560 -37.575059
    Unten rechts KachelX + 1 24659 KachelY + 1 40159 -0.77744064 -0.65580850 -44.544067 -37.575059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65573251--0.65580850) × R
    7.59900000000258e-05 × 6371000     		dl = 484.132290000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65573251--0.65580850) × R
    7.59900000000258e-05 × 6371000     		dr = 484.132290000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77753651--0.77744064) × cos(-0.65573251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792601500141022 × 6371000     		do = 484.111302769779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77753651--0.77744064) × cos(-0.65580850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792555163710386 × 6371000     		du = 484.083001044641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65573251)-sin(-0.65580850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792601500141022-0.792555163710386)×R²
    abs(-0.77744064--0.77753651)×4.63364306356739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63364306356739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63364306356739e-05×40589641000000     		ar = 234367.062848325m²