Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24657 / 40145
↖ ↑ ↗
← S 37.514083°
W 44.555054°		 ← 484.53 m → S 37.514083°
W 44.549560°		 →
↑
484.45 m
↓
↑
484.45 m
↓
S 37.518440°
W 44.555054°		 ← 484.50 m →
234 724 m²		 S 37.518440°
W 44.549560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376243591308594 y=0.612571716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376243591308594 × 216)
    floor (0.376243591308594 × 65536)
    floor (24657.5)     		tx = 24657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612571716308594 × 216)
    floor (0.612571716308594 × 65536)
    floor (40145.5)     		ty = 40145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24657 / 40145 ti = "16/24657/40145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24657/40145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24657 ÷ 216
    24657 ÷ 65536     		x = 0.376235961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40145 ÷ 216
    40145 ÷ 65536     		y = 0.612564086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.247528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77763239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612564086914062 × 2 - 1) × π
    -0.225128173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.707261016994308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77763239} λ = -0.77763239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707261016994308))-π/2
    2×atan(0.492992648411767)-π/2
    2×0.458026029830291-π/2
    0.916052059660581-1.57079632675     		φ = -0.65474427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77763239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.555054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65474427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.514083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24657 KachelY 40145 -0.77763239 -0.65474427 -44.555054 -37.514083
    Oben rechts KachelX + 1 24658 KachelY 40145 -0.77753651 -0.65474427 -44.549560 -37.514083
    Unten links KachelX 24657 KachelY + 1 40146 -0.77763239 -0.65482031 -44.555054 -37.518440
    Unten rechts KachelX + 1 24658 KachelY + 1 40146 -0.77753651 -0.65482031 -44.549560 -37.518440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65474427--0.65482031) × R
    7.60399999999439e-05 × 6371000     		dl = 484.450839999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65474427--0.65482031) × R
    7.60399999999439e-05 × 6371000     		dr = 484.450839999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77763239--0.77753651) × cos(-0.65474427) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.79320368246145 × 6371000     		do = 484.529643372709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77763239--0.77753651) × cos(-0.65482031) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.793157375122342 × 6371000     		du = 484.50135646608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65474427)-sin(-0.65482031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79320368246145-0.793157375122342)×R²
    abs(-0.77753651--0.77763239)×4.63073391084867e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.63073391084867e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.63073391084867e-05×40589641000000     		ar = 234723.941041642m²