Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24657 / 29390
↖ ↑ ↗
← N 18.239786°
W 44.555054°		 ← 580.16 m → N 18.239786°
W 44.549560°		 →
↑
580.14 m
↓
↑
580.14 m
↓
N 18.234569°
W 44.555054°		 ← 580.18 m →
336 581 m²		 N 18.234569°
W 44.549560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376243591308594 y=0.448463439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376243591308594 × 216)
    floor (0.376243591308594 × 65536)
    floor (24657.5)     		tx = 24657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448463439941406 × 216)
    floor (0.448463439941406 × 65536)
    floor (29390.5)     		ty = 29390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24657 / 29390 ti = "16/24657/29390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24657/29390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24657 ÷ 216
    24657 ÷ 65536     		x = 0.376235961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29390 ÷ 216
    29390 ÷ 65536     		y = 0.448455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.247528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77763239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    0.10308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.323861693833099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77763239} λ = -0.77763239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323861693833099))-π/2
    2×atan(1.3824560916937)-π/2
    2×0.944570323418157-π/2
    1.88914064683631-1.57079632675     		φ = 0.31834432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77763239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.555054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31834432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.239786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24657 KachelY 29390 -0.77763239 0.31834432 -44.555054 18.239786
    Oben rechts KachelX + 1 24658 KachelY 29390 -0.77753651 0.31834432 -44.549560 18.239786
    Unten links KachelX 24657 KachelY + 1 29391 -0.77763239 0.31825326 -44.555054 18.234569
    Unten rechts KachelX + 1 24658 KachelY + 1 29391 -0.77753651 0.31825326 -44.549560 18.234569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31834432-0.31825326) × R
    9.10600000000317e-05 × 6371000     		dl = 580.143260000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31834432-0.31825326) × R
    9.10600000000317e-05 × 6371000     		dr = 580.143260000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77763239--0.77753651) × cos(0.31834432) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949754938349607 × 6371000     		do = 580.159209727786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77763239--0.77753651) × cos(0.31825326) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949783435691097 × 6371000     		du = 580.176617371011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31834432)-sin(0.31825326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949754938349607-0.949783435691097)×R²
    abs(-0.77753651--0.77763239)×2.84973414902412e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.84973414902412e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.84973414902412e-05×40589641000000     		ar = 336580.50494669m²