Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24656 / 40112
↖ ↑ ↗
← S 37.370157°
W 44.560547°		 ← 485.41 m → S 37.370157°
W 44.555054°		 →
↑
485.47 m
↓
↑
485.47 m
↓
S 37.374523°
W 44.560547°		 ← 485.38 m →
235 646 m²		 S 37.374523°
W 44.555054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376228332519531 y=0.612068176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376228332519531 × 216)
    floor (0.376228332519531 × 65536)
    floor (24656.5)     		tx = 24656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612068176269531 × 216)
    floor (0.612068176269531 × 65536)
    floor (40112.5)     		ty = 40112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24656 / 40112 ti = "16/24656/40112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24656/40112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24656 ÷ 216
    24656 ÷ 65536     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40112 ÷ 216
    40112 ÷ 65536     		y = 0.612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.22412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.704097181619385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704097181619385))-π/2
    2×atan(0.494554865988876)-π/2
    2×0.459282020980637-π/2
    0.918564041961274-1.57079632675     		φ = -0.65223228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65223228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.370157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24656 KachelY 40112 -0.77772826 -0.65223228 -44.560547 -37.370157
    Oben rechts KachelX + 1 24657 KachelY 40112 -0.77763239 -0.65223228 -44.555054 -37.370157
    Unten links KachelX 24656 KachelY + 1 40113 -0.77772826 -0.65230848 -44.560547 -37.374523
    Unten rechts KachelX + 1 24657 KachelY + 1 40113 -0.77763239 -0.65230848 -44.555054 -37.374523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65223228--0.65230848) × R
    7.61999999999707e-05 × 6371000     		dl = 485.470199999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65223228--0.65230848) × R
    7.61999999999707e-05 × 6371000     		dr = 485.470199999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77763239) × cos(-0.65223228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794730870689821 × 6371000     		do = 485.411896258784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77763239) × cos(-0.65230848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794684617879836 × 6371000     		du = 485.383645608117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65223228)-sin(-0.65230848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794730870689821-0.794684617879836)×R²
    abs(-0.77763239--0.77772826)×4.62528099846038e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62528099846038e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62528099846038e-05×40589641000000     		ar = 235646.153048709m²