Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24655 / 40151
↖ ↑ ↗
← S 37.540222°
W 44.566040°		 ← 484.31 m → S 37.540222°
W 44.560547°		 →
↑
484.32 m
↓
↑
484.32 m
↓
S 37.544577°
W 44.566040°		 ← 484.28 m →
234 556 m²		 S 37.544577°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376213073730469 y=0.612663269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376213073730469 × 216)
    floor (0.376213073730469 × 65536)
    floor (24655.5)     		tx = 24655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612663269042969 × 216)
    floor (0.612663269042969 × 65536)
    floor (40151.5)     		ty = 40151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24655 / 40151 ti = "16/24655/40151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24655/40151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24655 ÷ 216
    24655 ÷ 65536     		x = 0.376205444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40151 ÷ 216
    40151 ÷ 65536     		y = 0.612655639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.247589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77782413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612655639648438 × 2 - 1) × π
    -0.225311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.707836259789749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77782413} λ = -0.77782413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707836259789749))-π/2
    2×atan(0.492709139493612)-π/2
    2×0.457797927440091-π/2
    0.915595854880181-1.57079632675     		φ = -0.65520047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77782413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.566040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65520047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.540222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24655 KachelY 40151 -0.77782413 -0.65520047 -44.566040 -37.540222
    Oben rechts KachelX + 1 24656 KachelY 40151 -0.77772826 -0.65520047 -44.560547 -37.540222
    Unten links KachelX 24655 KachelY + 1 40152 -0.77782413 -0.65527649 -44.566040 -37.544577
    Unten rechts KachelX + 1 24656 KachelY + 1 40152 -0.77772826 -0.65527649 -44.560547 -37.544577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65520047--0.65527649) × R
    7.60199999999545e-05 × 6371000     		dl = 484.32341999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65520047--0.65527649) × R
    7.60199999999545e-05 × 6371000     		dr = 484.32341999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77782413--0.77772826) × cos(-0.65520047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792925794013374 × 6371000     		do = 484.309377500898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77782413--0.77772826) × cos(-0.65527649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792879471351661 × 6371000     		du = 484.281084185649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65520047)-sin(-0.65527649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792925794013374-0.792879471351661)×R²
    abs(-0.77772826--0.77782413)×4.63226617135604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63226617135604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63226617135604e-05×40589641000000     		ar = 234555.522604577m²