Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24655 / 40114
↖ ↑ ↗
← S 37.378888°
W 44.566040°		 ← 485.36 m → S 37.378888°
W 44.560547°		 →
↑
485.41 m
↓
↑
485.41 m
↓
S 37.383253°
W 44.566040°		 ← 485.33 m →
235 588 m²		 S 37.383253°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376213073730469 y=0.612098693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376213073730469 × 216)
    floor (0.376213073730469 × 65536)
    floor (24655.5)     		tx = 24655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612098693847656 × 216)
    floor (0.612098693847656 × 65536)
    floor (40114.5)     		ty = 40114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24655 / 40114 ti = "16/24655/40114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24655/40114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24655 ÷ 216
    24655 ÷ 65536     		x = 0.376205444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40114 ÷ 216
    40114 ÷ 65536     		y = 0.612091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.247589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77782413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612091064453125 × 2 - 1) × π
    -0.22418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.704288929217865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77782413} λ = -0.77782413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704288929217865))-π/2
    2×atan(0.494460045372109)-π/2
    2×0.459205831546949-π/2
    0.918411663093899-1.57079632675     		φ = -0.65238466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77782413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.566040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65238466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.378888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24655 KachelY 40114 -0.77782413 -0.65238466 -44.566040 -37.378888
    Oben rechts KachelX + 1 24656 KachelY 40114 -0.77772826 -0.65238466 -44.560547 -37.378888
    Unten links KachelX 24655 KachelY + 1 40115 -0.77782413 -0.65246085 -44.566040 -37.383253
    Unten rechts KachelX + 1 24656 KachelY + 1 40115 -0.77772826 -0.65246085 -44.560547 -37.383253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65238466--0.65246085) × R
    7.61900000000315e-05 × 6371000     		dl = 485.406490000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65238466--0.65246085) × R
    7.61900000000315e-05 × 6371000     		dr = 485.406490000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77782413--0.77772826) × cos(-0.65238466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794638372597225 × 6371000     		do = 485.355399555077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77782413--0.77772826) × cos(-0.65246085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794592116631579 × 6371000     		du = 485.327146976971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65238466)-sin(-0.65246085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794638372597225-0.794592116631579)×R²
    abs(-0.77772826--0.77782413)×4.62559656461137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62559656461137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62559656461137e-05×40589641000000     		ar = 235587.804022343m²