Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24654 / 41054
↖ ↑ ↗
← S 41.368564°
W 44.571533°		 ← 458.43 m → S 41.368564°
W 44.566040°		 →
↑
458.39 m
↓
↑
458.39 m
↓
S 41.372687°
W 44.571533°		 ← 458.40 m →
210 134 m²		 S 41.372687°
W 44.566040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376197814941406 y=0.626441955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376197814941406 × 216)
    floor (0.376197814941406 × 65536)
    floor (24654.5)     		tx = 24654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626441955566406 × 216)
    floor (0.626441955566406 × 65536)
    floor (41054.5)     		ty = 41054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24654 / 41054 ti = "16/24654/41054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24654/41054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24654 ÷ 216
    24654 ÷ 65536     		x = 0.376190185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41054 ÷ 216
    41054 ÷ 65536     		y = 0.626434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.24761962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77792001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.25286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.794410300503571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77792001} λ = -0.77792001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794410300503571))-π/2
    2×atan(0.45184761068253)-π/2
    2×0.424389337901081-π/2
    0.848778675802162-1.57079632675     		φ = -0.72201765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77792001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.571533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72201765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.368564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24654 KachelY 41054 -0.77792001 -0.72201765 -44.571533 -41.368564
    Oben rechts KachelX + 1 24655 KachelY 41054 -0.77782413 -0.72201765 -44.566040 -41.368564
    Unten links KachelX 24654 KachelY + 1 41055 -0.77792001 -0.72208960 -44.571533 -41.372687
    Unten rechts KachelX + 1 24655 KachelY + 1 41055 -0.77782413 -0.72208960 -44.566040 -41.372687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72201765--0.72208960) × R
    7.19500000000428e-05 × 6371000     		dl = 458.393450000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72201765--0.72208960) × R
    7.19500000000428e-05 × 6371000     		dr = 458.393450000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77792001--0.77782413) × cos(-0.72201765) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.75047379229337 × 6371000     		do = 458.428026723848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77792001--0.77782413) × cos(-0.72208960) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.750426238580801 × 6371000     		du = 458.398978468146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72201765)-sin(-0.72208960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75047379229337-0.750426238580801)×R²
    abs(-0.77782413--0.77792001)×4.75537125687042e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75537125687042e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75537125687042e-05×40589641000000     		ar = 210133.747072681m²