Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24652 / 41053
↖ ↑ ↗
← S 41.364442°
W 44.582519°		 ← 458.41 m → S 41.364442°
W 44.577026°		 →
↑
458.39 m
↓
↑
458.39 m
↓
S 41.368564°
W 44.582519°		 ← 458.38 m →
210 125 m²		 S 41.368564°
W 44.577026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376167297363281 y=0.626426696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376167297363281 × 216)
    floor (0.376167297363281 × 65536)
    floor (24652.5)     		tx = 24652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626426696777344 × 216)
    floor (0.626426696777344 × 65536)
    floor (41053.5)     		ty = 41053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24652 / 41053 ti = "16/24652/41053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24652/41053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24652 ÷ 216
    24652 ÷ 65536     		x = 0.37615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41053 ÷ 216
    41053 ÷ 65536     		y = 0.626419067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.2476806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77811175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626419067382812 × 2 - 1) × π
    -0.252838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.794314426704331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77811175} λ = -0.77811175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794314426704331))-π/2
    2×atan(0.451890933106353)-π/2
    2×0.424425314427646-π/2
    0.848850628855291-1.57079632675     		φ = -0.72194570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77811175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.582519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72194570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.364442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24652 KachelY 41053 -0.77811175 -0.72194570 -44.582519 -41.364442
    Oben rechts KachelX + 1 24653 KachelY 41053 -0.77801588 -0.72194570 -44.577026 -41.364442
    Unten links KachelX 24652 KachelY + 1 41054 -0.77811175 -0.72201765 -44.582519 -41.368564
    Unten rechts KachelX + 1 24653 KachelY + 1 41054 -0.77801588 -0.72201765 -44.577026 -41.368564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72194570--0.72201765) × R
    7.19499999999318e-05 × 6371000     		dl = 458.393449999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72194570--0.72201765) × R
    7.19499999999318e-05 × 6371000     		dr = 458.393449999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77811175--0.77801588) × cos(-0.72194570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750521342120884 × 6371000     		do = 458.409256891412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77811175--0.77801588) × cos(-0.72201765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75047379229337 × 6371000     		du = 458.380214038301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72194570)-sin(-0.72201765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750521342120884-0.75047379229337)×R²
    abs(-0.77801588--0.77811175)×4.75498275140929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75498275140929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75498275140929e-05×40589641000000     		ar = 210125.144341878m²