Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24651 / 40149
↖ ↑ ↗
← S 37.531510°
W 44.588013°		 ← 484.42 m → S 37.531510°
W 44.582519°		 →
↑
484.39 m
↓
↑
484.39 m
↓
S 37.535866°
W 44.588013°		 ← 484.39 m →
234 638 m²		 S 37.535866°
W 44.582519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376152038574219 y=0.612632751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376152038574219 × 216)
    floor (0.376152038574219 × 65536)
    floor (24651.5)     		tx = 24651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612632751464844 × 216)
    floor (0.612632751464844 × 65536)
    floor (40149.5)     		ty = 40149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24651 / 40149 ti = "16/24651/40149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24651/40149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24651 ÷ 216
    24651 ÷ 65536     		x = 0.376144409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40149 ÷ 216
    40149 ÷ 65536     		y = 0.612625122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376144409179688 × 2 - 1) × π
    -0.247711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77820763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612625122070312 × 2 - 1) × π
    -0.225250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.707644512191269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77820763} λ = -0.77820763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707644512191269))-π/2
    2×atan(0.492803624346192)-π/2
    2×0.457873952689204-π/2
    0.915747905378407-1.57079632675     		φ = -0.65504842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77820763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.588013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65504842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.531510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24651 KachelY 40149 -0.77820763 -0.65504842 -44.588013 -37.531510
    Oben rechts KachelX + 1 24652 KachelY 40149 -0.77811175 -0.65504842 -44.582519 -37.531510
    Unten links KachelX 24651 KachelY + 1 40150 -0.77820763 -0.65512445 -44.588013 -37.535866
    Unten rechts KachelX + 1 24652 KachelY + 1 40150 -0.77811175 -0.65512445 -44.582519 -37.535866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65504842--0.65512445) × R
    7.60300000000047e-05 × 6371000     		dl = 484.38713000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65504842--0.65512445) × R
    7.60300000000047e-05 × 6371000     		dr = 484.38713000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77820763--0.77811175) × cos(-0.65504842) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.79301843168146 × 6371000     		do = 484.416482660142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77820763--0.77811175) × cos(-0.65512445) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.792972112092738 × 6371000     		du = 484.388188270818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65504842)-sin(-0.65512445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79301843168146-0.792972112092738)×R²
    abs(-0.77811175--0.77820763)×4.63195887220325e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.63195887220325e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.63195887220325e-05×40589641000000     		ar = 234638.257154533m²