Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2465 / 2619
↖ ↑ ↗
← S 44.777936°
E 36.650391°		 ← 6 937.28 m → S 44.777936°
E 36.738281°		 →
↑
6 933.56 m
↓
↑
6 933.56 m
↓
S 44.840291°
E 36.650391°		 ← 6 929.78 m →
48 074 038 m²		 S 44.840291°
E 36.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6019287109375 y=0.6395263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6019287109375 × 212)
    floor (0.6019287109375 × 4096)
    floor (2465.5)     		tx = 2465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6395263671875 × 212)
    floor (0.6395263671875 × 4096)
    floor (2619.5)     		ty = 2619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2465 / 2619 ti = "12/2465/2619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2465/2619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2465 ÷ 212
    2465 ÷ 4096     		x = 0.601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2619 ÷ 212
    2619 ÷ 4096     		y = 0.639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601806640625 × 2 - 1) × π
    0.20361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63966999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.27880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.875903029857666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63966999} λ = 0.63966999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.875903029857666))-π/2
    2×atan(0.416485750744822)-π/2
    2×0.394636956587496-π/2
    0.789273913174991-1.57079632675     		φ = -0.78152241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63966999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78152241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.777936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2465 KachelY 2619 0.63966999 -0.78152241 36.650391 -44.777936
    Oben rechts KachelX + 1 2466 KachelY 2619 0.64120397 -0.78152241 36.738281 -44.777936
    Unten links KachelX 2465 KachelY + 1 2620 0.63966999 -0.78261071 36.650391 -44.840291
    Unten rechts KachelX + 1 2466 KachelY + 1 2620 0.64120397 -0.78261071 36.738281 -44.840291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78152241--0.78261071) × R
    0.00108830000000004 × 6371000     		dl = 6933.55930000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78152241--0.78261071) × R
    0.00108830000000004 × 6371000     		dr = 6933.55930000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63966999-0.64120397) × cos(-0.78152241) × R
    0.00153397999999993 × 0.709842034951841 × 6371000     		do = 6937.27668150394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63966999-0.64120397) × cos(-0.78261071) × R
    0.00153397999999993 × 0.709075058762226 × 6371000     		du = 6929.78103349565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78152241)-sin(-0.78261071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709842034951841-0.709075058762226)×R²
    abs(0.64120397-0.63966999)×0.000766976189614632×R²
    0.00153397999999993×0.000766976189614632×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766976189614632×40589641000000     		ar = 48074038.2366306m²