Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24648 / 40167
↖ ↑ ↗
← S 37.609880°
W 44.604492°		 ← 483.86 m → S 37.609880°
W 44.598999°		 →
↑
483.81 m
↓
↑
483.81 m
↓
S 37.614231°
W 44.604492°		 ← 483.83 m →
234 090 m²		 S 37.614231°
W 44.598999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376106262207031 y=0.612907409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376106262207031 × 216)
    floor (0.376106262207031 × 65536)
    floor (24648.5)     		tx = 24648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612907409667969 × 216)
    floor (0.612907409667969 × 65536)
    floor (40167.5)     		ty = 40167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24648 / 40167 ti = "16/24648/40167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24648/40167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24648 ÷ 216
    24648 ÷ 65536     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40167 ÷ 216
    40167 ÷ 65536     		y = 0.612899780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612899780273438 × 2 - 1) × π
    -0.225799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.709370240577591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.709370240577591))-π/2
    2×atan(0.491953912539547)-π/2
    2×0.457190045256396-π/2
    0.914380090512791-1.57079632675     		φ = -0.65641624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65641624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.609880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24648 KachelY 40167 -0.77849525 -0.65641624 -44.604492 -37.609880
    Oben rechts KachelX + 1 24649 KachelY 40167 -0.77839938 -0.65641624 -44.598999 -37.609880
    Unten links KachelX 24648 KachelY + 1 40168 -0.77849525 -0.65649218 -44.604492 -37.614231
    Unten rechts KachelX + 1 24649 KachelY + 1 40168 -0.77839938 -0.65649218 -44.598999 -37.614231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65641624--0.65649218) × R
    7.59399999999966e-05 × 6371000     		dl = 483.813739999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65641624--0.65649218) × R
    7.59399999999966e-05 × 6371000     		dr = 483.813739999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77839938) × cos(-0.65641624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792184417381131 × 6371000     		do = 483.856553720959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77839938) × cos(-0.65649218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792138070298718 × 6371000     		du = 483.828245489846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65641624)-sin(-0.65649218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792184417381131-0.792138070298718)×R²
    abs(-0.77839938--0.77849525)×4.6347082413134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6347082413134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6347082413134e-05×40589641000000     		ar = 234089.601036222m²