Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24648 / 25352
↖ ↑ ↗
← S 69.687618°
E 90.791015°		 ← 424.08 m → S 69.687618°
E 90.802002°		 →
↑
424.05 m
↓
↑
424.05 m
↓
S 69.691432°
E 90.791015°		 ← 424 m →
179 816 m²		 S 69.691432°
E 90.802002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752212524414062 y=0.773696899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752212524414062 × 215)
    floor (0.752212524414062 × 32768)
    floor (24648.5)     		tx = 24648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773696899414062 × 215)
    floor (0.773696899414062 × 32768)
    floor (25352.5)     		ty = 25352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24648 / 25352 ti = "15/24648/25352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24648/25352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24648 ÷ 215
    24648 ÷ 32768     		x = 0.752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25352 ÷ 215
    25352 ÷ 32768     		y = 0.773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.54736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71959246317065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58460215} λ = 1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71959246317065))-π/2
    2×atan(0.179139138833891)-π/2
    2×0.17725896865129-π/2
    0.354517937302581-1.57079632675     		φ = -1.21627839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21627839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.687618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24648 KachelY 25352 1.58460215 -1.21627839 90.791015 -69.687618
    Oben rechts KachelX + 1 24649 KachelY 25352 1.58479390 -1.21627839 90.802002 -69.687618
    Unten links KachelX 24648 KachelY + 1 25353 1.58460215 -1.21634495 90.791015 -69.691432
    Unten rechts KachelX + 1 24649 KachelY + 1 25353 1.58479390 -1.21634495 90.802002 -69.691432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21627839--1.21634495) × R
    6.65600000000488e-05 × 6371000     		dl = 424.053760000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21627839--1.21634495) × R
    6.65600000000488e-05 × 6371000     		dr = 424.053760000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58460215-1.58479390) × cos(-1.21627839) × R
    0.000191749999999935 × 0.347138319994255 × 6371000     		do = 424.077796883898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58460215-1.58479390) × cos(-1.21634495) × R
    0.000191749999999935 × 0.347075898329477 × 6371000     		du = 424.001540128155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21627839)-sin(-1.21634495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347138319994255-0.347075898329477)×R²
    abs(1.58479390-1.58460215)×6.24216647783227e-05×R²
    0.000191749999999935×6.24216647783227e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.24216647783227e-05×40589641000000     		ar = 179815.615885316m²