Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24647 / 40128
↖ ↑ ↗
← S 37.439974°
W 44.609985°		 ← 484.96 m → S 37.439974°
W 44.604492°		 →
↑
484.96 m
↓
↑
484.96 m
↓
S 37.444335°
W 44.609985°		 ← 484.93 m →
235 179 m²		 S 37.444335°
W 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376091003417969 y=0.612312316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376091003417969 × 216)
    floor (0.376091003417969 × 65536)
    floor (24647.5)     		tx = 24647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612312316894531 × 216)
    floor (0.612312316894531 × 65536)
    floor (40128.5)     		ty = 40128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24647 / 40128 ti = "16/24647/40128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24647/40128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24647 ÷ 216
    24647 ÷ 65536     		x = 0.376083374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40128 ÷ 216
    40128 ÷ 65536     		y = 0.6123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376083374023438 × 2 - 1) × π
    -0.247833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77859112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6123046875 × 2 - 1) × π
    -0.224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.705631162407227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77859112} λ = -0.77859112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705631162407227))-π/2
    2×atan(0.493796809896305)-π/2
    2×0.458672753868773-π/2
    0.917345507737545-1.57079632675     		φ = -0.65345082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77859112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.609985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65345082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.439974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24647 KachelY 40128 -0.77859112 -0.65345082 -44.609985 -37.439974
    Oben rechts KachelX + 1 24648 KachelY 40128 -0.77849525 -0.65345082 -44.604492 -37.439974
    Unten links KachelX 24647 KachelY + 1 40129 -0.77859112 -0.65352694 -44.609985 -37.444335
    Unten rechts KachelX + 1 24648 KachelY + 1 40129 -0.77849525 -0.65352694 -44.604492 -37.444335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65345082--0.65352694) × R
    7.61200000000128e-05 × 6371000     		dl = 484.960520000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65345082--0.65352694) × R
    7.61200000000128e-05 × 6371000     		dr = 484.960520000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77859112--0.77849525) × cos(-0.65345082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.793990673399832 × 6371000     		do = 484.959792806671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77859112--0.77849525) × cos(-0.65352694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.793944395472639 × 6371000     		du = 484.931526814721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65345082)-sin(-0.65352694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793990673399832-0.793944395472639)×R²
    abs(-0.77849525--0.77859112)×4.6277927192806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6277927192806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6277927192806e-05×40589641000000     		ar = 235179.499467034m²