Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24647 / 25795
↖ ↑ ↗
← S 71.311357°
E 90.780030°		 ← 391.42 m → S 71.311357°
E 90.791015°		 →
↑
391.37 m
↓
↑
391.37 m
↓
S 71.314876°
E 90.780030°		 ← 391.35 m →
153 178 m²		 S 71.314876°
E 90.791015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752182006835938 y=0.787216186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752182006835938 × 215)
    floor (0.752182006835938 × 32768)
    floor (24647.5)     		tx = 24647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787216186523438 × 215)
    floor (0.787216186523438 × 32768)
    floor (25795.5)     		ty = 25795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24647 / 25795 ti = "15/24647/25795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24647/25795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24647 ÷ 215
    24647 ÷ 32768     		x = 0.752166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25795 ÷ 215
    25795 ÷ 32768     		y = 0.787200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752166748046875 × 2 - 1) × π
    0.50433349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58441041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.57440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80453664929739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58441041} λ = 1.58441041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80453664929739))-π/2
    2×atan(0.164550683590727)-π/2
    2×0.163089179300773-π/2
    0.326178358601546-1.57079632675     		φ = -1.24461797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58441041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.780030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24461797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.311357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24647 KachelY 25795 1.58441041 -1.24461797 90.780030 -71.311357
    Oben rechts KachelX + 1 24648 KachelY 25795 1.58460215 -1.24461797 90.791015 -71.311357
    Unten links KachelX 24647 KachelY + 1 25796 1.58441041 -1.24467940 90.780030 -71.314876
    Unten rechts KachelX + 1 24648 KachelY + 1 25796 1.58460215 -1.24467940 90.791015 -71.314876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24461797--1.24467940) × R
    6.143000000014e-05 × 6371000     		dl = 391.370530000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24461797--1.24467940) × R
    6.143000000014e-05 × 6371000     		dr = 391.370530000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58441041-1.58460215) × cos(-1.24461797) × R
    0.000191739999999996 × 0.320425234587192 × 6371000     		do = 391.423628970467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58441041-1.58460215) × cos(-1.24467940) × R
    0.000191739999999996 × 0.320367042952561 × 6371000     		du = 391.35254349297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24461797)-sin(-1.24467940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320425234587192-0.320367042952561)×R²
    abs(1.58460215-1.58441041)×5.8191634630167e-05×R²
    0.000191739999999996×5.8191634630167e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.8191634630167e-05×40589641000000     		ar = 153177.762793309m²