Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24646 / 40176
↖ ↑ ↗
← S 37.649034°
W 44.615479°		 ← 483.65 m → S 37.649034°
W 44.609985°		 →
↑
483.62 m
↓
↑
483.62 m
↓
S 37.653383°
W 44.615479°		 ← 483.62 m →
233 898 m²		 S 37.653383°
W 44.609985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376075744628906 y=0.613044738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376075744628906 × 216)
    floor (0.376075744628906 × 65536)
    floor (24646.5)     		tx = 24646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613044738769531 × 216)
    floor (0.613044738769531 × 65536)
    floor (40176.5)     		ty = 40176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24646 / 40176 ti = "16/24646/40176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24646/40176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24646 ÷ 216
    24646 ÷ 65536     		x = 0.376068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40176 ÷ 216
    40176 ÷ 65536     		y = 0.613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.24786376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77868700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.22607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.710233104770752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77868700} λ = -0.77868700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.710233104770752))-π/2
    2×atan(0.491529606209427)-π/2
    2×0.45684836146953-π/2
    0.91369672293906-1.57079632675     		φ = -0.65709960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77868700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.615479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65709960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.649034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24646 KachelY 40176 -0.77868700 -0.65709960 -44.615479 -37.649034
    Oben rechts KachelX + 1 24647 KachelY 40176 -0.77859112 -0.65709960 -44.609985 -37.649034
    Unten links KachelX 24646 KachelY + 1 40177 -0.77868700 -0.65717551 -44.615479 -37.653383
    Unten rechts KachelX + 1 24647 KachelY + 1 40177 -0.77859112 -0.65717551 -44.609985 -37.653383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65709960--0.65717551) × R
    7.59099999999568e-05 × 6371000     		dl = 483.622609999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65709960--0.65717551) × R
    7.59099999999568e-05 × 6371000     		dr = 483.622609999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77868700--0.77859112) × cos(-0.65709960) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.791767190290122 × 6371000     		do = 483.652160004406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77868700--0.77859112) × cos(-0.65717551) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.791720820436328 × 6371000     		du = 483.623834910588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65709960)-sin(-0.65717551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791767190290122-0.791720820436328)×R²
    abs(-0.77859112--0.77868700)×4.63698537949142e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.63698537949142e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.63698537949142e-05×40589641000000     		ar = 233898.270738038m²