Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24645 / 57326
↖ ↑ ↗
← S 79.152743°
W 44.620972°		 ← 114.95 m → S 79.152743°
W 44.615479°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 79.153776°
W 44.620972°		 ← 114.93 m →
13 210 m²		 S 79.153776°
W 44.615479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376060485839844 y=0.874732971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376060485839844 × 216)
    floor (0.376060485839844 × 65536)
    floor (24645.5)     		tx = 24645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874732971191406 × 216)
    floor (0.874732971191406 × 65536)
    floor (57326.5)     		ty = 57326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24645 / 57326 ti = "16/24645/57326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24645/57326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24645 ÷ 216
    24645 ÷ 65536     		x = 0.376052856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57326 ÷ 216
    57326 ÷ 65536     		y = 0.874725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376052856445312 × 2 - 1) × π
    -0.247894287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77878287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.74945068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35446876173868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77878287} λ = -0.77878287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35446876173868))-π/2
    2×atan(0.094943930988559)-π/2
    2×0.0946601781805738-π/2
    0.189320356361148-1.57079632675     		φ = -1.38147597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77878287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.620972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38147597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.152743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24645 KachelY 57326 -0.77878287 -1.38147597 -44.620972 -79.152743
    Oben rechts KachelX + 1 24646 KachelY 57326 -0.77868700 -1.38147597 -44.615479 -79.152743
    Unten links KachelX 24645 KachelY + 1 57327 -0.77878287 -1.38149401 -44.620972 -79.153776
    Unten rechts KachelX + 1 24646 KachelY + 1 57327 -0.77868700 -1.38149401 -44.615479 -79.153776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38147597--1.38149401) × R
    1.80399999998304e-05 × 6371000     		dl = 114.93283999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38147597--1.38149401) × R
    1.80399999998304e-05 × 6371000     		dr = 114.93283999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77878287--0.77868700) × cos(-1.38147597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188191438903736 × 6371000     		do = 114.945029301101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77878287--0.77868700) × cos(-1.38149401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18817372120525 × 6371000     		du = 114.934207547554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38147597)-sin(-1.38149401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188191438903736-0.18817372120525)×R²
    abs(-0.77868700--0.77878287)×1.77176984856031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77176984856031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77176984856031e-05×40589641000000     		ar = 13210.3367742014m²