Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24645 / 25796
↖ ↑ ↗
← S 71.314876°
E 90.758057°		 ← 391.37 m → S 71.314876°
E 90.769043°		 →
↑
391.37 m
↓
↑
391.37 m
↓
S 71.318396°
E 90.758057°		 ← 391.30 m →
153 158 m²		 S 71.318396°
E 90.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752120971679688 y=0.787246704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752120971679688 × 215)
    floor (0.752120971679688 × 32768)
    floor (24645.5)     		tx = 24645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787246704101562 × 215)
    floor (0.787246704101562 × 32768)
    floor (25796.5)     		ty = 25796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24645 / 25796 ti = "15/24645/25796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24645/25796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24645 ÷ 215
    24645 ÷ 32768     		x = 0.752105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25796 ÷ 215
    25796 ÷ 32768     		y = 0.7872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752105712890625 × 2 - 1) × π
    0.50421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58402691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80472839689587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58402691} λ = 1.58402691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80472839689587))-π/2
    2×atan(0.164519134417156)-π/2
    2×0.163058461705834-π/2
    0.326116923411668-1.57079632675     		φ = -1.24467940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58402691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.758057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24467940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.314876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24645 KachelY 25796 1.58402691 -1.24467940 90.758057 -71.314876
    Oben rechts KachelX + 1 24646 KachelY 25796 1.58421866 -1.24467940 90.769043 -71.314876
    Unten links KachelX 24645 KachelY + 1 25797 1.58402691 -1.24474083 90.758057 -71.318396
    Unten rechts KachelX + 1 24646 KachelY + 1 25797 1.58421866 -1.24474083 90.769043 -71.318396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24467940--1.24474083) × R
    6.14299999999179e-05 × 6371000     		dl = 391.370529999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24467940--1.24474083) × R
    6.14299999999179e-05 × 6371000     		dr = 391.370529999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58402691-1.58421866) × cos(-1.24467940) × R
    0.000191749999999935 × 0.320367042952561 × 6371000     		do = 391.372954077152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58402691-1.58421866) × cos(-1.24474083) × R
    0.000191749999999935 × 0.32030885010898 × 6371000     		du = 391.301863415364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24467940)-sin(-1.24474083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320367042952561-0.32030885010898)×R²
    abs(1.58421866-1.58402691)×5.81928435813839e-05×R²
    0.000191749999999935×5.81928435813839e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.81928435813839e-05×40589641000000     		ar = 153157.929117901m²