Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24644 / 25812
↖ ↑ ↗
← S 71.371109°
E 90.747070°		 ← 390.24 m → S 71.371109°
E 90.758057°		 →
↑
390.22 m
↓
↑
390.22 m
↓
S 71.374619°
E 90.747070°		 ← 390.17 m →
152 266 m²		 S 71.374619°
E 90.758057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752090454101562 y=0.787734985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752090454101562 × 215)
    floor (0.752090454101562 × 32768)
    floor (24644.5)     		tx = 24644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787734985351562 × 215)
    floor (0.787734985351562 × 32768)
    floor (25812.5)     		ty = 25812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24644 / 25812 ti = "15/24644/25812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24644/25812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24644 ÷ 215
    24644 ÷ 32768     		x = 0.7520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25812 ÷ 215
    25812 ÷ 32768     		y = 0.7877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58383516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80779635847156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58383516} λ = 1.58383516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80779635847156))-π/2
    2×atan(0.16401516950209)-π/2
    2×0.162567738331023-π/2
    0.325135476662046-1.57079632675     		φ = -1.24566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58383516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.371109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24644 KachelY 25812 1.58383516 -1.24566085 90.747070 -71.371109
    Oben rechts KachelX + 1 24645 KachelY 25812 1.58402691 -1.24566085 90.758057 -71.371109
    Unten links KachelX 24644 KachelY + 1 25813 1.58383516 -1.24572210 90.747070 -71.374619
    Unten rechts KachelX + 1 24645 KachelY + 1 25813 1.58402691 -1.24572210 90.758057 -71.374619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24566085--1.24572210) × R
    6.12500000001237e-05 × 6371000     		dl = 390.223750000788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24566085--1.24572210) × R
    6.12500000001237e-05 × 6371000     		dr = 390.223750000788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58383516-1.58402691) × cos(-1.24566085) × R
    0.000191749999999935 × 0.319437167609414 × 6371000     		do = 390.236981860356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58383516-1.58402691) × cos(-1.24572210) × R
    0.000191749999999935 × 0.319379126053405 × 6371000     		du = 390.166076017405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24566085)-sin(-1.24572210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319437167609414-0.319379126053405)×R²
    abs(1.58402691-1.58383516)×5.80415560088032e-05×R²
    0.000191749999999935×5.80415560088032e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.80415560088032e-05×40589641000000     		ar = 152265.903926215m²