Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24642 / 40170
↖ ↑ ↗
← S 37.622934°
W 44.637451°		 ← 483.77 m → S 37.622934°
W 44.631958°		 →
↑
483.75 m
↓
↑
483.75 m
↓
S 37.627284°
W 44.637451°		 ← 483.74 m →
234 018 m²		 S 37.627284°
W 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376014709472656 y=0.612953186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376014709472656 × 216)
    floor (0.376014709472656 × 65536)
    floor (24642.5)     		tx = 24642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612953186035156 × 216)
    floor (0.612953186035156 × 65536)
    floor (40170.5)     		ty = 40170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24642 / 40170 ti = "16/24642/40170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24642/40170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24642 ÷ 216
    24642 ÷ 65536     		x = 0.376007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40170 ÷ 216
    40170 ÷ 65536     		y = 0.612945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.24798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77907049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.22589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.709657861975311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77907049} λ = -0.77907049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.709657861975311))-π/2
    2×atan(0.491812436414365)-π/2
    2×0.457076130660378-π/2
    0.914152261320755-1.57079632675     		φ = -0.65664407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77907049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.637451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65664407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.622934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24642 KachelY 40170 -0.77907049 -0.65664407 -44.637451 -37.622934
    Oben rechts KachelX + 1 24643 KachelY 40170 -0.77897462 -0.65664407 -44.631958 -37.622934
    Unten links KachelX 24642 KachelY + 1 40171 -0.77907049 -0.65672000 -44.637451 -37.627284
    Unten rechts KachelX + 1 24643 KachelY + 1 40171 -0.77897462 -0.65672000 -44.631958 -37.627284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65664407--0.65672000) × R
    7.59299999999463e-05 × 6371000     		dl = 483.750029999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65664407--0.65672000) × R
    7.59299999999463e-05 × 6371000     		dr = 483.750029999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77907049--0.77897462) × cos(-0.65664407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.792045356325032 × 6371000     		do = 483.771616928611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77907049--0.77897462) × cos(-0.65672000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.791999001643539 × 6371000     		du = 483.743304056073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65664407)-sin(-0.65672000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792045356325032-0.791999001643539)×R²
    abs(-0.77897462--0.77907049)×4.63546814928328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63546814928328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63546814928328e-05×40589641000000     		ar = 234017.686138184m²