Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24642 / 40034
↖ ↑ ↗
← S 37.028869°
W 44.637451°		 ← 487.61 m → S 37.028869°
W 44.631958°		 →
↑
487.64 m
↓
↑
487.64 m
↓
S 37.033255°
W 44.637451°		 ← 487.58 m →
237 770 m²		 S 37.033255°
W 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376014709472656 y=0.610877990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376014709472656 × 216)
    floor (0.376014709472656 × 65536)
    floor (24642.5)     		tx = 24642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610877990722656 × 216)
    floor (0.610877990722656 × 65536)
    floor (40034.5)     		ty = 40034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24642 / 40034 ti = "16/24642/40034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24642/40034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24642 ÷ 216
    24642 ÷ 65536     		x = 0.376007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40034 ÷ 216
    40034 ÷ 65536     		y = 0.610870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.24798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77907049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.610870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.22174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.696619025278656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77907049} λ = -0.77907049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.696619025278656))-π/2
    2×atan(0.498267087582724)-π/2
    2×0.462260318335063-π/2
    0.924520636670125-1.57079632675     		φ = -0.64627569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77907049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.637451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64627569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.028869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24642 KachelY 40034 -0.77907049 -0.64627569 -44.637451 -37.028869
    Oben rechts KachelX + 1 24643 KachelY 40034 -0.77897462 -0.64627569 -44.631958 -37.028869
    Unten links KachelX 24642 KachelY + 1 40035 -0.77907049 -0.64635223 -44.637451 -37.033255
    Unten rechts KachelX + 1 24643 KachelY + 1 40035 -0.77897462 -0.64635223 -44.631958 -37.033255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64627569--0.64635223) × R
    7.65400000000138e-05 × 6371000     		dl = 487.636340000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64627569--0.64635223) × R
    7.65400000000138e-05 × 6371000     		dr = 487.636340000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77907049--0.77897462) × cos(-0.64627569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.798332174093552 × 6371000     		do = 487.611528333842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77907049--0.77897462) × cos(-0.64635223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.798286078038964 × 6371000     		du = 487.583373427454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64627569)-sin(-0.64635223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798332174093552-0.798286078038964)×R²
    abs(-0.77897462--0.77907049)×4.60960545883848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60960545883848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60960545883848e-05×40589641000000     		ar = 237770.236456802m²