Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24641 / 40115
↖ ↑ ↗
← S 37.383253°
W 44.642945°		 ← 485.38 m → S 37.383253°
W 44.637451°		 →
↑
485.28 m
↓
↑
485.28 m
↓
S 37.387617°
W 44.642945°		 ← 485.35 m →
235 537 m²		 S 37.387617°
W 44.637451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375999450683594 y=0.612113952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375999450683594 × 216)
    floor (0.375999450683594 × 65536)
    floor (24641.5)     		tx = 24641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612113952636719 × 216)
    floor (0.612113952636719 × 65536)
    floor (40115.5)     		ty = 40115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24641 / 40115 ti = "16/24641/40115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24641/40115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24641 ÷ 216
    24641 ÷ 65536     		x = 0.375991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40115 ÷ 216
    40115 ÷ 65536     		y = 0.612106323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.248016357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77916637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612106323242188 × 2 - 1) × π
    -0.224212646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.704384803017105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77916637} λ = -0.77916637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704384803017105))-π/2
    2×atan(0.494412641881399)-π/2
    2×0.459167740155727-π/2
    0.918335480311453-1.57079632675     		φ = -0.65246085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77916637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.642945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65246085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.383253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24641 KachelY 40115 -0.77916637 -0.65246085 -44.642945 -37.383253
    Oben rechts KachelX + 1 24642 KachelY 40115 -0.77907049 -0.65246085 -44.637451 -37.383253
    Unten links KachelX 24641 KachelY + 1 40116 -0.77916637 -0.65253702 -44.642945 -37.387617
    Unten rechts KachelX + 1 24642 KachelY + 1 40116 -0.77907049 -0.65253702 -44.637451 -37.387617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65246085--0.65253702) × R
    7.6170000000042e-05 × 6371000     		dl = 485.279070000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65246085--0.65253702) × R
    7.6170000000042e-05 × 6371000     		dr = 485.279070000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77916637--0.77907049) × cos(-0.65246085) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.794592116631579 × 6371000     		do = 485.377770440976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77916637--0.77907049) × cos(-0.65253702) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.794545868197475 × 6371000     		du = 485.349519516556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65246085)-sin(-0.65253702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794592116631579-0.794545868197475)×R²
    abs(-0.77907049--0.77916637)×4.62484341037239e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.62484341037239e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.62484341037239e-05×40589641000000     		ar = 235536.818361076m²