Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24641 / 25286
↖ ↑ ↗
← S 69.434411°
E 90.714111°		 ← 429.14 m → S 69.434411°
E 90.725098°		 →
↑
429.09 m
↓
↑
429.09 m
↓
S 69.438270°
E 90.714111°		 ← 429.06 m →
184 120 m²		 S 69.438270°
E 90.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751998901367188 y=0.771682739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751998901367188 × 215)
    floor (0.751998901367188 × 32768)
    floor (24641.5)     		tx = 24641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771682739257812 × 215)
    floor (0.771682739257812 × 32768)
    floor (25286.5)     		ty = 25286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24641 / 25286 ti = "15/24641/25286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24641/25286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24641 ÷ 215
    24641 ÷ 32768     		x = 0.751983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25286 ÷ 215
    25286 ÷ 32768     		y = 0.77166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    0.50396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58325992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.5433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70693712167096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58325992} λ = 1.58325992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70693712167096))-π/2
    2×atan(0.181420611771836)-π/2
    2×0.179468625076038-π/2
    0.358937250152077-1.57079632675     		φ = -1.21185908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58325992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21185908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.434411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24641 KachelY 25286 1.58325992 -1.21185908 90.714111 -69.434411
    Oben rechts KachelX + 1 24642 KachelY 25286 1.58345167 -1.21185908 90.725098 -69.434411
    Unten links KachelX 24641 KachelY + 1 25287 1.58325992 -1.21192643 90.714111 -69.438270
    Unten rechts KachelX + 1 24642 KachelY + 1 25287 1.58345167 -1.21192643 90.725098 -69.438270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21185908--1.21192643) × R
    6.73500000001326e-05 × 6371000     		dl = 429.086850000845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21185908--1.21192643) × R
    6.73500000001326e-05 × 6371000     		dr = 429.086850000845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58325992-1.58345167) × cos(-1.21185908) × R
    0.000191750000000157 × 0.351279407176253 × 6371000     		do = 429.136711523593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58325992-1.58345167) × cos(-1.21192643) × R
    0.000191750000000157 × 0.351216348549589 × 6371000     		du = 429.05967663021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21185908)-sin(-1.21192643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351279407176253-0.351216348549589)×R²
    abs(1.58345167-1.58325992)×6.30586266635591e-05×R²
    0.000191750000000157×6.30586266635591e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.30586266635591e-05×40589641000000     		ar = 184120.392506888m²